In de categorietheorie, een onderdeel van de wiskunde, is een functor een speciaal soort afbeelding tussen categorieën.

Functors werden voor het eerst onderzocht in de algebraïsche topologie, waar algebraïsche objecten (zoals de fundamentaalgroep) worden gekoppeld aan topologische ruimten, en algebraïsche homomorfismen worden gekoppeld aan continue afbeeldingen. Tegenwoordig worden functors in heel de moderne wiskunde gebruikt om verschillende categorieën aan elkaar te relateren. Het woord "functor" werd door wiskundigen geleend van de filosoof Carnap [ Mac Lane, blz. 30]. Carnap gebruikte de term "functor" in relatie tot functies op dezelfde wijze zoals predicaten zich verhouden tot eigenschappen. [Zie Carnap, The Logical Syntax of Language (De logische syntaxis van de taal), blz.13-14, 1937, Routledge & Kegan Paul.] Voor Carnap was een functor, dit in tegenstelling tot het moderne gebruik in de wiskundige categorietheorie, een taalkundige term. Voor categorietheoretici staat een functor voor een bepaald soort functie.

Definitie

bewerken

Een (covariante) functor is een structuurbehoudende afbeelding tussen categorieën. Een functor   van de categorie   naar de categorie   bestaat uit

  • een afbeelding   van de objecten van   naar de objecten van  
  • afbeeldingen   tussen de morfismen van elk tweetal objecten  ,   van  .

De afbeeldingen tussen de morfismen moeten:

  • compatibel zijn met de samenstelling, dus  .
  • de identieke morfismen behouden:  .

En contravariante functor (of cofunctor) van   naar   is een functor van de tegenovergestelde categorie   naar  . Equivalent kan een cofunctor beschreven worden als een functor, met dit verschil:

  • de afbeeldingen tussen de morfismen gaan van   naar  .
  • de compatibiliteit met de samenstelling luidt  .

Een functor   van een categorie naar zich zelf heet endofunctor.

Als   categorieën zijn en   en   co- of contravariante functors, dan is de samenstelling  , die formeel gedefinieerd is door

 

voor objecten   en Morphismen  , een functor  . De samenstelling   is precies dan covariant, als   en   beide co- of beide contravariant zijn; anders contravariant.

Zie ook

bewerken

Typen functors

bewerken

Andere zaken

bewerken

Referenties

bewerken
  • Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician (Categorieën voor de werkende wiskundige), Graduate Texts in Mathematics 5, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1997. ISBN 0-387-98403-8