Hoofdmenu openen

In algebraïsche topologie, een deelgebied van de wiskunde, is de fundamentaalgroep of Poincaré-groep een groep die is geassocieerd met een bepaalde gepunte topologische ruimte. De fundamenteelgroep voorziet in een manier om te bepalen wanneer twee paden, elk met een vast begin- en eindpunt continu in elkaar kunnen worden vervormd. Intuïtief gesproken bevat de fundamentaalgroep informatie over de basisvorm, of de gaten in de topologische ruimte. De fundamentaalgroep is de eerste en eenvoudigste van de homotopiegroepen.

Fundamentaalgroepen kunnen worden bestudeerd door gebruik te maken van de theorie van de dekkende ruimten, dit omdat een fundamentaalgroep overeenkomt met de groep van dekkingstransformaties van de geassocieerde universele dekkingsruimte. De Abelianisering van de fundamentaalgroep kan worden geïdentificeerd met de eerste homologiegroep van de ruimte. Wanneer de topologische ruimte homeomorf is met een simpliciaal complex, kan haar fundamentaalgroep expliciet worden beschreven in termen van generatoren en relaties.

Historisch gezien is het begrip van de fundamentaalgroep voor het eerst ontstaan in de theorie van de Riemann-oppervlakken, in het werk van Bernhard Riemann, Felix Klein en Henri Poincaré, waar de fundamentaalgroep de monodromische eigenschappen van complexe functies beschrijft en voorziet in een complete topologische classificatie van gesloten oppervlakken.

DefinitieBewerken

De fundamentaalgroep van een wegsamenhangende topologische ruimte   construeert men als volgt. Zij   de verzameling van alle gesloten paden in  , dat wil zeggen van alle continue afbeeldingen   met een gegeven vast begin- en eindpunt  . Men noemt twee paden   en   homotopie-equivalent als ze "continu in elkaar vervormd kunnen worden binnen  ", dat wil zeggen als er een continue afbeelding

 

bestaat met de eigenschap dat

  en   voor alle  .

Homotopie-equivalentie bepaalt een equivalentierelatie op  . De equivalentieklassen vormen een groep voor de bewerking "achter elkaar plakken van paden" die we hier met het teken * noteren:

 

als  [1]. Impliciet in deze notatie, maar in feite nog te verifiëren, is dat de bewerking * op individuele paden, de equivalentieklassen respecteert. Uitdrukkelijker: als   homotoop-equivalent is met  , en   is homotoop-equivalent met  , dan is   ook homotoop-equivalent met   De samenstelling van twee equivalentieklassen is dus welgedefinieerd, onafhankelijk van de gekozen vertegenwoordigers.

GroepseigenschappenBewerken

Het neutrale element van de groepsbewerking is de equivalentieklasse die hoort bij het constante pad, dat wil zeggen de constante afbeelding van het interval [0,1] op het vaste gekozen beginpunt.

Het inverse element van een gegeven equivalentieklasse bekomen we door haar paden in omgekeerde zin te doorlopen (samenstelling met de parameter-inversie  ).

De bewerking * is niet noodzakelijk commutatief.

De aldus ontstane groep is, op isomorfisme na, dezelfde voor alle gekozen beginpunten van gesloten paden. (Indien   niet wegsamenhangend is, is de groep dezelfde voor alle beginpunten die met een pad kunnen verbonden worden). Deze groep heet de fundamentaalgroep van  . De meest gebruikelijke notatie is   of  .

Verband met topologieBewerken

De fundamentaalgroep is een topologische invariant: topologisch equivalente wegsamenhangende ruimten hebben isomorfe fundamentaalgroepen. Hij is zelfs een homotopie-invariant: homotope wegsamenhangende ruimten hebben isomorfe fundamentaalgroepen.

De topologische ruimte   heet enkelvoudig samenhangend als haar fundamentaalgroep uitsluitend uit het neutrale element bestaat, dat wil zeggen als alle gesloten paden homotopie-equivalent zijn met een constante.

VoorbeeldenBewerken

Het Euclidische vlak   is enkelvoudig samenhangend. Als men uit   één punt weglaat, heeft de overblijvende ruimte fundamentaalgroep   (de gehele getallen). Als men verschillende punten weglaat, is de fundamentaalgroep niet langer commutatief: de zogenaamde vrije groep op   veranderlijken.

De tweedimensionale sfeer   (het oppervlak van een bol) is enkelvoudig samenhangend.

De cirkelomtrek heeft fundamentaalgroep  .

De torus (oppervlak van een fietsbinnenband) heeft fundamentaalgroep  . Dit is een gevolg van de hieronder geciteerde eigenschap over productruimten, want de torus kan worden opgevat als het Cartesisch product van een cirkel met zichzelf.

 
Een samentrekbaar pad op de torus
 
Twee niet onderling equivalente, niet-samentrekbare paden op de torus

Het reëel projectief vlak heeft een niet-triviale eindige fundamentaalgroep:   (de cyclische groep der restklassen van gehele getallen modulo 2).

De lensruimte   heeft als fundamentaalgroep de eindige cyclische groep  .

EigenschapBewerken

De fundamentaalgroep van een productruimte is de productgroep van de individuele fundamentaalgroepen:

 

Deze eigenschap blijft mutatis mutandis gelden voor oneindige producten.

Verband met andere invariantenBewerken

De fundamentaalgroep   is de eerste homotopiegroep. In tegenstelling tot de hogere homotopiegroepen   hoeft hij niet commutatief te zijn.

De eerste homologiegroep van de singuliere homologie is de abelianisering van de fundamentaalgroep. Explicieter: met elke gesloten weg komt een driehoek en dus een element van   overeen. Deze afbeelding blijkt een surjectief groepshomomorfisme te zijn, en haar kern is precies de commutatordeelgroep van  .