In de meetkunde is een omgeschreven cirkel van een veelhoek een cirkel die door alle hoekpunten van een veelhoek gaat. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van alle zijden van deze veelhoek.
Omgeschreven cirkel C P Het middelpunt O Een veelhoek waarvan alle hoekpunten op een omgeschreven cirkel liggen, wordt een cyclische veelhoek of koordenveelhoek genoemd. Alle regelmatige veelhoeken , alle rechthoeken en alle driehoeken zijn cyclische veelhoeken.
De ingeschreven cirkel van een veelhoek is een cirkel die alle zijden van de veelhoek aan de binnenkant raakt.
Het middelpunt van een omgeschreven cirkel van een driehoek
bewerken
Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek wordt meestal aangeduid met O driehoekscentrum met kimberlingnummer X(3) en het complement van het hoogtepunt . Het ligt op de rechte van Euler en de cirkel van Lester .
Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek met hoekpunten (x1 ,y1 ), (x2 ,y2 ) (x3 ,y3 ) cartesische coördinaten is
(
|
x
1
2
+
y
1
2
y
1
1
x
2
2
+
y
2
2
y
2
1
x
3
2
+
y
3
2
y
3
1
|
2
|
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
1
|
,
|
x
1
x
1
2
+
y
1
2
1
x
2
x
2
2
+
y
2
2
1
x
3
x
3
2
+
y
3
2
1
|
2
|
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
1
|
)
{\displaystyle \left({\frac {\left|{\begin{array}{ccc}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1\end{array}}\right|}{2\left|{\begin{array}{ccc}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{array}}\right|}},{\frac {\left|{\begin{array}{ccc}x_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&1\\x_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&1\\x_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&1\end{array}}\right|}{2\left|{\begin{array}{ccc}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{array}}\right|}}\right)}
of anders met
d
=
2
(
x
1
(
y
2
−
y
3
)
+
x
2
(
y
3
−
y
1
)
+
x
3
(
y
1
−
y
2
)
)
{\displaystyle d=2(x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2}))}
is het
x
m
=
(
x
1
2
+
y
1
2
)
(
y
2
−
y
3
)
+
(
x
2
2
+
y
2
2
)
(
y
3
−
y
1
)
+
(
x
3
2
+
y
3
2
)
(
y
1
−
y
2
)
d
{\displaystyle x_{m}={\frac {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(y_{2}-y_{3})+(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})(y_{3}-y_{1})+(x_{3}^{2}+y_{3}^{2})(y_{1}-y_{2})}{d}}}
y
m
=
(
x
1
2
+
y
1
2
)
(
x
3
−
x
2
)
+
(
x
2
2
+
y
2
2
)
(
x
1
−
x
3
)
+
(
x
3
2
+
y
3
2
)
(
x
2
−
x
1
)
d
{\displaystyle y_{m}={\frac {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{3}-x_{2})+(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}^{2}+y_{3}^{2})(x_{2}-x_{1})}{d}}}
De straal van de omgeschreven cirkel wordt meestal aangeduid met R
De straal van een driehoek ABC sinusregel worden berekend. Enkele andere formules om R
R
=
a
b
c
(
a
+
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}}
R
=
a
b
c
4
r
s
{\displaystyle R={\frac {abc}{4rs}}}
R
=
r
cos
A
+
cos
B
+
cos
C
−
1
{\displaystyle R={\frac {r}{\cos A+\cos B+\cos C-1}}}
met:
r s omtrek van ABC A B C ABC a b c ABC A B C Voor een rechthoekige driehoek met rechte hoek bij A
R
=
a
2
{\displaystyle R={\frac {a}{2}}}
De straal van de omgeschreven cirkel van een koordenvierhoek is
R
=
1
4
(
a
c
+
b
d
)
(
a
d
+
b
c
)
(
a
b
+
c
d
)
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}}
Regelmatige veelhoek
bewerken
De straal van de omgeschreven cirkel van een regelmatige veelhoek met n a
R
=
a
2
sin
(
π
n
)
{\displaystyle R={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}
Barycentrische coördinaten
bewerken
De vergelijking van de omgeschreven cirkel van een driehoek ABC barycentrische coördinaten is
a
2
y
z
+
b
2
x
z
+
c
2
x
y
=
0
{\displaystyle a^{2}yz+b^{2}xz+c^{2}xy=0}
en gebruikmakend van de conway-driehoeknotatie
(
a
2
S
A
:
b
2
S
B
:
c
2
S
C
)
{\displaystyle \left(a^{2}S_{A}:b^{2}S_{B}:c^{2}S_{C}\right)}
