In de meetkunde is een omgeschreven cirkel van een veelhoek een cirkel die door alle hoekpunten van een veelhoek gaat. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van alle zijden van deze veelhoek.
Omgeschreven cirkel
C van een cyclische veelhoek
P Het middelpunt
O van de omgeschreven cirkel van een driehoek is het snijpunt van de middelloodlijnen door de drie zijden van die driehoek.
Een veelhoek waarvan alle hoekpunten op een omgeschreven cirkel liggen, wordt een cyclische veelhoek of koordenveelhoek genoemd. Alle regelmatige veelhoeken , alle rechthoeken en alle driehoeken zijn cyclische veelhoeken.
Het middelpunt van een omgeschreven cirkel van een driehoek Bewerken
Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek wordt meestal aangeduid met O driehoekscentrum met Kimberlingnummer X(3) complement van het hoogtepunt . Het ligt op de rechte van Euler en de cirkel van Lester .
Barycentrische coördinaten voor het middelpunt van de omgeschreven cirkel zijn, gebruikmakend van Conway-driehoeknotatie
(
a
2
S
A
:
b
2
S
B
:
c
2
S
C
)
{\displaystyle \left(a^{2}S_{A}:b^{2}S_{B}:c^{2}S_{C}\right)}
Voor een driehoek met hoekpunten (x 1 ,y 1 ), (x 2 ,y 2 ) en (x 3 ,y 3 ) in Cartesische coördinaten ,
zijn de coördinaten van het middelpunt van de omgeschreven cirkel
(
|
x
1
2
+
y
1
2
y
1
1
x
2
2
+
y
2
2
y
2
1
x
3
2
+
y
3
2
y
3
1
|
2
|
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
1
|
,
|
x
1
x
1
2
+
y
1
2
1
x
2
x
2
2
+
y
2
2
1
x
3
x
3
2
+
y
3
2
1
|
2
|
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
1
|
)
{\displaystyle \left({\frac {\left|{\begin{array}{ccc}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1\end{array}}\right|}{2\left|{\begin{array}{ccc}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{array}}\right|}},{\frac {\left|{\begin{array}{ccc}x_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&1\\x_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&1\\x_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&1\end{array}}\right|}{2\left|{\begin{array}{ccc}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{array}}\right|}}\right)}
Idem in traditionele notatie:
Met
d
=
2
(
x
1
(
y
2
−
y
3
)
+
x
2
(
y
3
−
y
1
)
+
x
3
(
y
1
−
y
2
)
)
{\displaystyle d=2(x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2}))}
worden de coördinaten van het middelpunt (xm , ym )
x
m
=
(
x
1
2
+
y
1
2
)
(
y
2
−
y
3
)
+
(
x
2
2
+
y
2
2
)
(
y
3
−
y
1
)
+
(
x
3
2
+
y
3
2
)
(
y
1
−
y
2
)
d
{\displaystyle x_{m}={\frac {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(y_{2}-y_{3})+(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})(y_{3}-y_{1})+(x_{3}^{2}+y_{3}^{2})(y_{1}-y_{2})}{d}}}
y
m
=
(
x
1
2
+
y
1
2
)
(
x
3
−
x
2
)
+
(
x
2
2
+
y
2
2
)
(
x
1
−
x
3
)
+
(
x
3
2
+
y
3
2
)
(
x
2
−
x
1
)
d
{\displaystyle y_{m}={\frac {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{3}-x_{2})+(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}^{2}+y_{3}^{2})(x_{2}-x_{1})}{d}}}
De straal van de omgeschreven cirkel wordt meestal aangeduid met R
In een driehoek kan hij worden berekend met de sinusregel . Enkele andere formules om R
R
=
a
b
c
(
a
+
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}}
R
=
a
b
c
4
r
s
{\displaystyle R={\frac {abc}{4rs}}}
R
=
r
cos
A
+
cos
B
+
cos
C
−
1
{\displaystyle R={\frac {r}{\cos A+\cos B+\cos C-1}}}
waarin:
r s ABC A B C ABC Voor een rechthoekige driehoek met rechte hoek bij A
R
=
a
2
{\displaystyle R={\frac {a}{2}}}
Van een koordenvierhoek met lengtes van de zijden a, b, c d s
R
=
1
4
(
a
c
+
b
d
)
(
a
d
+
b
c
)
(
a
b
+
c
d
)
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}}
Regelmatige veelhoek Bewerken Van een regelmatige veelhoek met n a
R
=
a
2
sin
(
π
n
)
{\displaystyle R={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}
Barycentrische coördinaten Bewerken
De vergelijking van de omgeschreven cirkel van een driehoek ABC
a
2
y
z
+
b
2
x
z
+
c
2
x
y
=
0
{\displaystyle a^{2}yz+b^{2}xz+c^{2}xy=0}
