Dirichlet-L-functie

In de wiskunde is een dirichlet-L-reeks een functie van de vorm

Hier is een dirichlet-karakter en een complexe variabele met een reëel deel groter dan 1. Door analytische voortzetting kan deze functie worden uitgebreid tot een meromorfe functie op het gehele complexe vlak. De zo ontstane dirichlet-L-functie wordt aangegeven door .

Deze functies zijn genoemd naar Johann Dirichlet, die de dirichlet-L-functie in 1837 introduceerde om de ook zijn naam dragende stelling over priemgetallen in rekenkundige rijen te bewijzen. In het verloop van dit bewijs laat Dirichlet zien dat ongelijk aan nul is voor . Als principaal is, d.w.z. de enige waarden op de gehele getallen zijn 0 en 1, heeft de overeenkomstige dirichlet-L-functie een enkelvoudige pool in .

Nulpunten van de dirichlet-L-functiesBewerken

Als   een primitief karakter is met  , liggen de enige nulpunten van   met   in de negatieve even gehele getallen.

Als   een primitief karakter is met  , liggen de enige nulpunten van   met   in de negatieve oneven gehele getallen.

Net als voor de riemann-zèta-functies bestaan er voor dirichlet-L-functies op siegel-nulpunten na, nulpuntvrije gebieden inclusief en voorbij de lijn  ; bijvoorbeeld daar waar   een niet-reëel karakter van modulus   heeft, geldt dat

 

waarin   een niet-reëel nulpunt is.[1] Dat maakt dat er een siegel-nulpunt zou kunnen bestaan.

Net zoals men van de riemann-zèta-functie aan de riemann-hypothese voldoet, zo wordt vermoed dat de dirichlet-L-functies aan de gegeneraliseerde riemann-hypothese voldoen.

Euler-productBewerken

Aangezien een dirichlet-karakter   volledig multiplicatief is, kan haar L-functie ook worden geschreven als een euler-product in het halfvlak van absolute convergentie:

 ,

waarin het product over alle priemgetallen is.[2]

FunctionaalvergelijkingBewerken

Stel dat   een primitief karakter is met betrekking tot de modulus  . Onder de definitie

 ,

waarin   de gammafunctie aangeeft en het symbool   wordt gegeven door

 

heeft men dan de functionaalvergelijking

 

Hier schrijven wij   voor de Gauss-som

 

Merk op dat  .

Relatie met de Hurwitz-zèta-functieBewerken

De dirichlet-L-functies kunnen worden geschreven als een lineaire combinatie van de hurwitz-zèta-functie op rationale waarden. Na vastzetten van een geheel getal  , zijn de dirichlet-L-functies voor karakter modulo   lineaire combinaties, met constante coëfficiënten, van de  , waarin   en  . Dit betekent dat de hurwitz-zèta-functie voor rationele   analytische eigenschappen heeft, die nauw verwant zijn aan de dirichlet-L-functies. Laat χ specifiek een karakter modulo   zijn. Dan kunnen we haar dirichlet-L-functie schrijven als

 

In het bijzonder levert de dirichlet-L-functie van het triviale karakter, wat impliceert dat de modulus   priem is, de riemann-zèta-functie op: