Karakter (wiskunde)

(Doorverwezen vanaf Dirichlet-karakter)

In de groepsrepresentatie, een deelgebied van de wiskunde, is een karakter (meestal) een speciaal type functie van een groep naar een lichaam/veld, meestal het lichaam van de complexe getallen. Afhankelijk van de soort groep waarop de representatie betrekking heeft, zijn er verschillende betekenissen.

Willekeurige groepBewerken

Voor een groep   is een karakter   een groepshomomorfisme van de groep   naar de multiplicatieve groep   van de complexe getallen.

Topologische groepBewerken

Als   een topologische groep is, moet het karakter continu zijn.

EigenschappenBewerken

  • De verzameling karakters van een groep   is een abelse groep met de bewerking:
 
  • Een karakter heet unitair als  , dus als het beeld van   op de eenheidscirkel ligt.
  • Een karakter is dan en slechts dan unitair, als
 
  • Voor een eindige groep zijn alle karakters unitair, immers, als   de orde van de groep is, geldt voor alle  :
 
  • De karakters van een groep   komen overeen met de eendimensionale complexe representaties van  . De unitaire karakters komen overeen met de unitaire eendimensionale representaties.
  • Een unitair karakter heet kwadratisch als de enige beelden –1 en +1 zijn. Is 1 het enige beeld dan heet het karakter triviaal.
  • Voor een karakter   van een eindige groep geldt:
  triviaal, dan  .
  niet triviaal, dan  .

Dirichlet-karakterBewerken

Een dirichlet-karakter is een karakter op de multiplicatieve groep  . Dirichlet-karakters worden gebruikt om dirichlet-L-functies te definiëren, die meromorfe functies met een verscheidenheid aan interessante analytische eigenschappen zijn. Dirichlet-karakters zijn genoemd naar Johann Dirichlet.

Algebraïsche groepBewerken

Voor een algebraïsche groep   is een karakter   een homomorfisme   van   naar de de multiplicatieve groep  .

Karakter van een representatieBewerken

  Zie Karakter (groepsrepresentatie) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor een groep   op de eindigdimensionale vectorruimte   over het lichaam/veld   is het karakter van een representatie   van   de functie

 

die aan het element   het spoor van   toevoegt: