Halfruimte (meetkunde)

meetkunde

Een halfruimte is in de wiskunde een door een hypervlak begrensde deelverzameling van een ruimte van willekeurige dimensie. Wanneer het hypervlak zelf in de halfruimte is besloten, noemt men de halfruimte afgesloten, anders open. Het begrip halfruimte leidt ertoe dat het begrensde hypervlak de ruimte in twee delen opdeelt. Terminologie en voorstelling zijn een generalisatie van de drie-dimensionale ruimte, waar een vlak een halfruimte begrenst.

Het rode vlak definieert de blauwe halfruimte in de driedimensionale ruimte.

Formele definitieBewerken

Speciaal geval  Bewerken

Voor   en   noemt men

 

een hypervlak,

 

een afgesloten halfruimte en

 

een open halfruimte.

Algemene definitieBewerken

Zei   een reële vectorruimte, dan geldt voor elke lineaire vorm   en elke   de deelverzameling

  bzw.  

een afgesloten- respectievelijk open halfruimte.

Speciale gevallenBewerken

  • Op een rechte   zijn de hypervlakken precies de punten, en is een halfruimte daardoor een door een punt afgegrensde deelverzameling van een rechte  . In dit speciale geval spreekt men ook van een halfrechte.
  • In het vlak   zijn de hypervlakken precies de rechten, en daardoor is een halfruimte een door een rechte afgegrensde deelverzameling van  . In dit speciale geval spreekt met ook van een halfvlak.
  • De hypervlakken van de ruimte   zijn precies de vlakken, en is een halfruimte een door een vlak begrensde deelverzameling van de ruimte.