Isoperimetrisch quotiënt

In de meetkunde is het isoperimetrisch quotiënt een maat voor de relatie tussen de omsloten oppervlakte en de omtrek van vlakke, en het ingesloten volume en de oppervlakte van ruimtelijke figuren, dus een maat voor de relatie tussen de 'buitenkant' en het 'binnenste' van een vorm. De maat is voor gelijkvormige figuren gelijk. Het gaat er bij het isoperimetrisch probleem om bij een gegeven omtrek of oppervlakte de figuur met de grootste oppervlakte, respectievelijk het grootste volume te vinden. De cirkel is de vlakke, en de bol de het lichaam die de oplossingen zijn. Daarom is het isoperimetrisch quotiënt zo gedefinieerd dat het voor deze figuren de waarde 1 heeft. Het isoperimetrisch quotiënt is voor alle figuren dus kleiner dan of gelijk aan 1, dat wordt de isoperimetrische ongelijkheid genoemd.

Het begrip isoperimeter is van het Grieks afgeleid en betekent gelijke omhullende afmetingen.

DefinitieBewerken

Voor een vlakke figuur met oppervlakte   en omtrek   wordt het isoperimetrisch quotiënt   gegeven door:

 

Voor een ruimtelijke figuur met inhoud   en oppervlakte   wordt het isoperimetrisch quotiënt   gegeven door:

 

EigenschappenBewerken

  • Het isoperimetrisch quotiënt van een bol is 1,
  • van een cirkel is is het 1,
  • van iedere figuur ten hoogste gelijk aan 1, dit heet de isoperimetrische ongelijkheid,
  • en is van gelijkvormige figuren gelijk. De machten van de voor de afmetingen van het lichaam bepalende maat vallen in de teller en noemer van de breuk tegen elkaar weg.

TabelBewerken

In de onderstaande tabel staat voor een aantal ruimtelijke figuren het isoperimetrisch quotiënt, oplopend geordend. De genoemde, afnemende oppervlakten in bijvoorbeeld cm² behoren steeds bij een inhoud van 1000 cm³.

afgeknotte icosaëder

stompe dodecaëder

bol

Ruimtelijke figuur Oppervlakte bij een inhoud van 1000  
viervlak 721 0,302
kegel met  [1] 609 0,5[2]
kubus 600[2] 0,523
regelmatig achtvlak 572 0,605
cilinder   553 0,667
regelmatig twaalfvlak 531 0,755
regelmatig twintigvlak 515 0,829
afgeknotte icosaëder[3] 500[4] 0,903
stompe dodecaëder 492 0,947
bol 484 1[2]
  1. kegelvorm met het hoogste isoperimetrisch quotiënt
  2. a b c exact
  3. De afgeknotte icosaëder wordt veelvuldig in het leer of plastic uitgevoerd als voetbal. Waarom hiervoor niet een stompe dodecaëder wordt toegepast die meer de bol benadert, zal duidelijk zijn: een afgeknotte icosaëder bezit 32 vlakken en een stompe dodecaëder bestaat uit 92 vlakken, en is daardoor ingewikkelder.
  4. niet exact 500, met een extra decimaal wordt het 500,3

Verhouding tussen oppervlak en omtrek bij regelmatige veelhoekenBewerken

Regelmatige veelhoeken zijn tweedimensionale meetkundige figuren, bestaande uit een eindig aantal lijnstukken die alle dezelfde lengte hebben. Voorbeelden hiervan zijn:

In onderstaande tabel staat de isoperimetrische ongelijkheid voor een aantal regelmatige veelhoeken met oplopende IQ en kleiner wordende omtrek O. Voor de omtrek O in bijvoorbeeld cm wordt uitgegaan van een oppervlak A van 1000 cm2.

vierkant

zeventienhoek

cirkel

Regelmatige veelhoek Omtrek bij een oppervlakte van 1000 IQ
driehoek 144 0,605
vierkant 127 0,785
vijfhoek 121 0,865
zeshoek 118 0,907
achthoek 115 0,948
tienhoek 114 0,967
twaalfhoek 113 0,977
zeventienhoek 112,75 0,988
vierentwintighoek 112,42 0,994
cirkel 112 1

Proclus, een Grieks neoplatonisch filosoof en wiskundige, zei over de cirkel het volgende: "De cirkel is de eerste, de eenvoudigste en de meest volmaakte figuur." Dante Alighieri zei later over de cirkel: Lo cerchio è perfetissima figura, De cirkel is het meest volmaakte figuur.