Vierentwintighoek

Een vierentwintighoek (ook icositetragoon, en in hetgeen volgt geschreven als 24-hoek) is een meetkundige figuur (een veelhoek) met hoeken en evenzoveel zijden. Het aantal hoeken en zijden van een veelhoek wordt meestal aangegeven met de letter . In dit geval is dus .

Regelmatige 24-hoek

Regelmatige 24-hoekBewerken

  • De grootte   van een hoek van een regelmatige 24-hoek is (in graden):
 
  • De algemene formule voor de oppervlakte   van een regelmatige  -hoek waarvan de lengte van een zijde gelijk is aan  , luidt[1]:
 
Voor   is dat:
 
Door gebruik te maken van enkele goniometrische identiteiten kan de exacte waarde van   worden berekend.
Allereerst is:
 
 
Dan is:
 
En dit resulteert, met gebruik van de eerder gevonden waarden, in:
 
En dan is hiermee:
 

Benadering van Bewerken

 
In- en omgeschreven zeshoeken van een cirkel

Een regelmatige 24-hoek kan worden gebruikt voor een benadering van het getal   volgens de methode van Archimedes, d.w.z. bepaal de omtrek van een in- en omschreven regelmatige veelhoek van een cirkel waarvan de lengte van de straal gelijk is aan  , en gebruik die waarden voor een benadering.[2]
  en   zijn de bedoelde 24-hoeken (alleen voor de duidelijkheid is in de figuur rechts een 6-hoek getekend),   is het middelpunt van de cirkel en   en   zijn de middens van de zijden   en  .
Is   de grootte van de helft van de middelpuntshoek   van de 24-hoek, dan is:

 

In driehoek   is   en in driehoek   is  . Daarmee is voor de omtrek   en   van deze 24-hoeken:

 

Zodat:

 

Een redelijke schatting van de waarde van   is dan het gemiddelde van beide grenzen, dus:

 

De op 6 decimalen afgeronde werkelijke waarde van   is  .

Opmerking. Met het isoperimetrisch quotiënt (IQ) wordt een relatie vastgelegd tussen de oppervlakte en de omtrek van een gesloten figuur. De definitie ervan is zo gekozen dat de waarde voor een cirkel gelijk is aan 1:

 

In de formule is   de oppervlakte en   de omtrek van de figuur. Voor een 24-hoek is IQ gelijk aan  .

ConstrueerbaarheidBewerken

  • De constructie van een 24-hoek kan worden uitgevoerd door, beginnend met een gelijkzijdige driehoek met omgeschreven cirkel, de middelloodlijnen van de zijden van de laatste geconstrueerde veelhoek te snijden met de cirkel. De nieuwe snijpunten zijn dan, naast de reeds bestaande punten op de cirkel, hoekpunten van de ‘volgende’ veelhoek.
Op deze manier ontstaat de rij veelhoeken, 3-, 6-, 12-, 24-, 48-, 96-hoek die Archimedes gebruikte bij zijn benadering van  .

Zie ookBewerken

LiteratuurBewerken

  • L. Borggren, J. & P. Borwein (1997): Pi: A Source Book. New York (USA): Springer, 3e editie (2003); pp. 7–19.
  • N.D. Kazarinoff (1970): The Ruler and the Round. Mineola (USA): Dover Publications Inc.; reprint 2003.

Voorkomen in de natuurBewerken

De 24-hoek komt ook voor in de natuur, zij het bij benadering; bijvoorbeeld in de doorsnede van de hennepbladstokroos.[3]

Externe linksBewerken

NotenBewerken

  1. Daarbij is  .
  2. Een veelhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen, heet een koordenveelhoek. De cirkel is de omgeschreven cirkel van die veelhoek.
    Een veelhoek waarvan de zijden raken aan een cirkel, heet een raaklijnenveelhoek. De cirkel is de ingeschreven cirkel van die veelhoek.
  3. M.Y. Hashim, e.a. (2017): The effect of alkali treatment under various conditions on physical properties of kenaf fiber. In: Journal of Physics: Conference Series, vol. 914, nr. 1 (012030); pag. 3 (icositetragon).