Stelling van Heine-Borel

In de wiskundige analyse, maar ook in de topologie van de metrische ruimten geeft de stelling van Heine-Borel, genoemd naar Eduard Heine en Émile Borel, een verband aan tussen compacte verzamelingen en de eigenschap van bepaalde verzamelingen om gesloten en begrensd te zijn

Voor een deelverzameling van de Euclidische ruimte zijn de onderstaande twee uitspraken equivalent:

In de context van de reële analyse, wordt de eerste eigenschap soms gebruikt als een definiërende eigenschap van compactheid. De twee definities houden echter op equivalent te zijn als we deelverzamelingen van meer algemene metrische ruimten beschouwen in het meer algemene geval wordt alleen de laatste eigenschap gebruikt om compactheid te definiëren. In feite luidt de stelling van Heine-Borel voor willekeurige metrische ruimten als volgt:

Een deelverzameling van de metrische ruimte is dan en slechts dan compact als deze deelverzameling compleet en totaal begrensd is.

GeschiedenisBewerken

De geschiedenis van wat nu de stelling van Heine-Borel wordt genoemd begint in de 19e eeuw, met het zoeken naar een solide fundament voor de reële analyse. Centraal in de stelling was het concept van uniforme continuïteit en de stelling beweert dat elke continue functie op een gesloten interval uniform continu is. Johann Dirichlet was de eerste die dit bewees. Impliciet gebruikte hij in zijn bewijs het bestaan van een eindige deeloverdekking van een gegeven open overdekking van een gesloten interval'. Hij gebruikte dit bewijs in zijn colleges uit 1862, die pas in 1904 werden gepubliceerd. Later gebruikten Eduard Heine, Karl Weierstrass en Salvatore Pincherle soortgelijke technieken. Émile Borel was in 1895 de eerste die wat nu de stelling van Heine-Borel wordt genoemd exact formuleerde en ook bewees. Zijn formulering beperkte zich tot aftelbare verzamelingen. Henri Lebesgue (1898) en Schoenflies (1900) veralgemeenden dit resultaat naar willekeurige overdekkingen.

Te bewijzenBewerken

Beschouw   met de gewone metriek. Stel  . Dan is   compact als en slechts als   gesloten en begrensd is.

BewijsBewerken

Het bewijs bestaat logischerwijs uit twee delen: eerst nemen we aan dat   compact is, en bewijzen we dat   dan gesloten en begrensd is. Vervolgens bewijzen we de stelling in de andere richting.

Stel dus eerst dat   compact is. We gaan aannemen dat   niet begrensd zou zijn, om zo tot een tegenspraak te komen. Bekijk nu de familie   gedefinieerd door

 .

Dan is   een open deeloverdekking van  . De unie van eindig veel elementen uit   is van de vorm

  met  .

Precies omdat   niet begrensd is kan   dus geen eindige deeloverdekking hebben.

Anderzijds, stel dat   en   niet gesloten is. Dan bestaat er een   zo, dat elke open bol rond   punten met   gemeen heeft. Definieer nu een familie   door

 .

De vereniging van alle elementen uit   is duidelijk gelijk aan   en   is daar een deel van omdat  .

De vereniging van eindig veel elementen uit   is van de vorm

 

voor een zekere  . Als nu

 , geldt dat
 ,

en dat is onmogelijk! Immers, bij veronderstelling dat elke open bol, dus zeker ook elke gesloten bol, punten gemeen heeft met  . Er bestaat dus geen eindige deeloverdekking.

Het is nuttig op te merken dat dit deel van de stelling in een willekeurige metrische ruimte geldt.

Stel nu dat   gesloten en begrensd is. Stel dat   een open overdekking van   is. Onderstel dan dat eindig veel elementen van   nooit voldoende zijn om   te overdekken. We proberen nu om te komen tot een tegenspraak. Merk dat   zeker niet leeg is!

Omdat   begrensd is, bestaat er een  -dimensionale gesloten kubus   die   volledig omvat. Noteer met   de lengte van de ribbe van deze kubus. Verdeel de kubus dan in   gelijke gesloten kubussen met ribbe   door elke ribbe precies in twee te verdelen. De doorsnede van   met elk van deze kleinere kubussen is dan telkens een gesloten deelverzameling van  . Minstens een van de niet-lege delen van   kan niet overdekt worden door eindig veel elementen van  . Stel dat   zo een deel is, noteer dan de bijbehorende kubus met  .

Als we deze procedure herhalen, dan bekomen we een rij   van niet-lege gesloten verzamelingen zodat   en zo dat   voor elke  . Bovendien krijgen we ook een rij   van gesloten kubussen zo dat   voor elke n en zo dat elke   een ribbe heeft met lengte  . We hebben dan de eigenschap dat geen enkele verzameling   overdekt kan worden door eindig veel elementen uit  .

Kies nu voor elke   een element  . Stel  . Als  , geldt dat

 

en analoog dat

 .

Er volgt dan dat

 

De rij   is dus een cauchyrij in  . We weten ook dat   volledig is, dus convergeert   met een limiet  .

Kies  . Voor alle   geldt dan dat  .

Omdat   gesloten is, volgt dat  . En omdat   bestaat er een   zo, dat  .

Omdat   open is, bestaat er dan een   zo, dat : .

Kies dan   zo, dat  .

Omdat  , vinden we dat   , en dus geldt dat  , wat zou betekenen dat   overdekt wordt door één element van  . Dit is de tegenspraak waarmee het bewijs volledig is.