Duaal veelvlak

Ruimtelijke voorstelling van de dualiteit tussen de kubus en de octaëder.

In de ruimtemeetkunde worden twee typen veelvlakken elkaars duale veelvlakken genoemd, als van een veelvlak van het ene type de middelpunten van de zijvlakken de hoekpunten van een veelvlak van het andere type vormen, en omgekeerd. Daarbij worden twee veelvlakken slechts van hetzelfde type genoemd, wanneer ze op een uniforme verschaling na congruent zijn. De twee ruimtelijke figuren zijn bijgevolg erg verwant met elkaar. Een voorbeeld is de kubus met als duaal veelvlak de octaëder.

Het viervlak en de piramiden met een regelmatige veelhoek als grondvlak zijn het duale veelvlak van zichzelf. Zij hebben de eigenschap dat ze evenveel hoekpunten als zijvlakken bevatten.

De vier andere regelmatige veelvlakken dan het viervlak vormen twee paren duale veelvlakken. De vier kepler-poinsot-lichamen vormen ook twee paren duale veelvlakken. De catalan-lichamen zijn per definitie de duale veelvlakken van de archimedische lichamen. Het duale veelvlak van een recht prisma met een regelmatige veelhoek als grondvlak is een bipiramide.

Wiskundige dualiteit wordt soms ook reciprociteit of polariteit genoemd.

ConstructieBewerken

Voor een uniform veelvlak kan een zijde van het duale veelvlak met behulp van de Dorman-Luke-constructie worden gevonden. Dit wordt aan de hand van het volgende voorbeeld verduidelijkt.

De zijde van de rombische dodecaëder, de duale vorm van dekuboctaëder, wordt als volgt geconstrueerd.

  • De middens A, B, C en D van de ribben rondom één hoekpunt van het veelvlak worden met elkaar verbonden. De ontstane figuur ABCD is een vlakke figuur.
  • Construeer de omgeschreven cirkel van ABCD.
  • Trek de raaklijnen aan deze cirkel in de punten A, B, C en D.
  • De raaklijnen snijden elkaar in de punten E, F, G en H .
  • De figuur EFGH is een nieuwe vlakke figuur.
  • Deze figuur vormt een zijvlak van het duale veelvlak.

Dualiteit in topologische zinBewerken

Als het gaat om topologische eigenschappen heeft elk veelvlak als samenstel van zijvlakken, ribben en hoekpunten een duale, door binnen elk zijvlak een punt te kiezen als hoekpunt van de duale, en voor elke ribbe als ribbe van de duale een verbindingslijn of -kromme te nemen tussen twee hoekpunten van de duale overeenkomstig het delen van de oorspronkelijke ribbe door de oorspronkelijke zijvlakken, en voor elk oorspronkelijk hoekpunt als zijvlak van de duale een mogelijk gekromd oppervlak te nemen dat begrensd wordt door een gesloten keten van ribben van de duale overeenkomstig het uitkomen van de oorspronkelijke ribben bij het oorspronkelijke hoekpunt.

Bij een veelvlak dat vervormbaar is tot een bol wordt het bovenstaande extra overzichtelijk als het in gedachte wordt toegepast na deze vervorming, omdat het dan lokaal om een tweedimensionale situatie gaat.

WebsitesBewerken