Overleg:Bewerkingsvolgorde

Vermenigvuldigen/Delen?

Deze rekenregel klopt niet! De volgorde is: Machtsverheffen, Vermenigvuldigen/Delen, Optellen/Aftrekken. Laten we eens als v.b. naar kijken: 2 : 5 x 3. Dit zou volgens de wiskunde zo gelezen moeten worden: (2 : 5) x 3 = 1,2. Maar volgens de 'rekenregel' zou dit 2 : (5 x 3) = 2/15 worden! Marco 18 dec 2006 19:58 (CET)

De oude bewerkingsvolgorde verschilt inderdaad met de moderne volgorde. De rekenregel is maar een afspraak over een soort stenografische notatie, die is modegevoelig. Wiskunde doet geen uitspraak over een dergelijke notatie. Ceinturion 25 mrt 2008 22:07 (CET)

Minteken?

Ik ben een beetje in de war met het minteken, dit kun je zien als vermenigvuldigen met -1. Wordt -2² dan (2²) * -1 = -4 omdat machtsverheffen voor vermenigvuldigen gaat of wordt het (-2²) = 4? Of is het een kwestie van interpretatie en wat gebeurt er als er geen haakjes staan? Redfish71 25 mrt 2008

-2² is (-1)·2² en dat is -4. Microsoft Excel hanteert overigens een afwijkende afspraak, daar is -3^2 = (-3)^2 = 9. Ceinturion 25 mrt 2008 22:07 (CET)

Nee nee, -2² = 4, tenzij je -(2)² doet. Romaine (overleg) 4 jun 2008 01:48 (CEST)

Je bewering dat -2² = 4 klopt niet. Denk aan het verschil tussen de dalparabool y=x² en de bergparabool y=-x². Mijn bewering dat -2² = -4 wordt overigens ondersteund door het overeenkomstige artikel in de Engelse Wikipedia (zie de overlegpagina van dat artikel). Ceinturion 10 jul 2008 00:48 (CEST)

Titel van artikel veranderen

Hoewel het artikel vanaf het begin Rekenregel heet wil ik de naam veranderen in Bewerkingsvolgorde, omdat dat beter past bij de inhoud. In veel artikelen waarin het woord rekenregel voorkomt blijkt het om een andere betekenis dan bewerkingsvolgorde te gaan. Daarom is de titel Rekenregel in de wikipedia ongeschikt voor de inhoud van dit artikel. Ceinturion 13 apr 2008 19:47 (CEST)

Op zichzelf ben ik het er mee eens. Ik vrees wel dat mensen die naar de bewerkingsvolgorde zoeken niet op dit woord zullen komen. Maar daar is een verwijspagina dan weer goed voor. - LexTH 14 apr 2008 10:50 (CEST)

Titelwijziging uitgevoerd. Ceinturion 29 apr 2008 00:48 (CEST)

Ook bewerkingsvolgorde is een slechte titel

De echte juiste term is precedentie of operator-precedentie. De precedentie geeft aan in welke volgorde de expressie ontleed (parsed) moet worden. Dat is wat bijvoorbeeld Meneer van Dalen ook doet. Er bestaat wel iets als een bewerkingsvolgorde, maar die geeft alleen maar aan in welke volgorde de verschillende operaties werkelijk uitgevoerd worden. Een voorbeeld in infix-notatie:

4 * 6 + 2 * 3

In de expressie kunnen de bewerkingen uitgevoerd worden in een aantal verschillende volgordes, die door commutativiteit van gebruikte operatoren in de wiskunde (maar niet altijd in de informatika wegens afronding en overflow) leiden tot het gelijke, korrekte resultataat. In postfix-notatie ook wel omgekeerde Poolse notatie (Eng: RPN):

4 6 * 2 3 * +

6 4 * 3 2 * +

2 3 * 4 6 * +

Deze drie vormen hebben verschillende bewerkingsvolgorden, maar voldoen allemaal aan de precendenties. – De voorgaande bijdrage werd geplaatst door 62.234.184.160 (overleg · bijdragen) 24 okt 2008

Ik zie wat je bedoelt, en het is zinnig om de term operatorprecedentie ter sprake te brengen, maar ik ben het niet eens met jouw suggestie dat de term bewerkingsvolgorde in het Nederlands alleen de betekenis mag hebben die jij er aan geeft. Rangorde is ook een soort volgorde. De term bewerkingsvolgorde wordt in het Nederlands feitelijk veel meer gebruikt voor precedentie dan voor jouw betekenis. Dat is al zichtbaar bij Versluys (1875). Ceinturion 24 okt 2008 19:47 (CEST)

Algemene gangbaarheid en manier van toepassen van "Mijnheer van Dalen"

1) Het artikel is zo herschreven dat de regel van Mijnheer Van Dalen algemeen toegepast werd in Nederland. Dat is echter niet zo. Ik heb wel degelijk de goede volgorde geleerd (omstreeks 1955), en dat zullen er velen meer geweest zijn.

2) Bovendien staat er nu dat dat er geen fout zat bij de volgorde van vermenigvuldigen en delen, en die van optellen en aftrekken. Dit is echter alleen zo bij een bepaalde interpretatie. Zeer velen interpreteerden letterlijk, waardoor het niet klopte. - LexTH 29 apr 2008 12:53 (CEST)

1) Het huidige artikel stelt dat de oude standaardvolgorde van 1875 MVDW{OA} was (waarbij de akkolades gelijkwaardigheid aanduiden). Het artikel zegt niets over 1955.

2) Geen enkele van de genoemde ezelsbruggen geeft uitdrukking aan de eventuele gelijkwaardigheid van VD, of OA, of MW. Het leren van die gelijkwaardigheid vindt plaats buiten die ezelsbruggen om. Met de nieuwe ezelsbrug is dat net zo makkelijk/moeilijk als met de oude. Ceinturion 29 apr 2008 18:57 (CEST)

J/kg·K

Een voorbeeld dat context ook een rol speelt: in sommige teksten wordt de eenheid van soortelijke warmte geschreven als J/kg·K, in plaats van J/(kg·K) of J·kg^-1·K^-1. Volgens de moderne regels is dat fout, maar de context is zo duidelijk dat misverstanden over de betekenis onwaarschijnlijk zijn. Ceinturion 16 mei 2008 16:53 (CEST)

Log(ab) en sin(ab)

De volgende overweging zou toegevoegd kunnen worden aan het artikel:

In de dagen van voor de computer was het doel van de bewerkingsvolgorde om de leesbaarheid van expressies te bevorderen, en het aantal haakjes te minimaliseren. Daarom, als het argument een product ab is, dan werd bij voorkeur:

• log(ab) geschreven als log ab,
• sin(ab) geschreven als sin ab, en
• √(ab) geschreven als √ab.

In manuscripten kunnen sin ab en log ab tegenwoordig nog steeds zonder haakjes geschreven worden, mits het niet om computercode gaat.

Deze oude conventie impliceert dat log en sin (evenals √ in het verre verleden, toen de bovenstreep nog facultatief was) een lagere prioriteit hebben dan vermenigvuldigen en delen. In het boek van Versluys wordt aan log() die plaats in de bewerkingsvolgorde heel expliciet toegewezen. Uiteraard is deze prioriteit slechts een oppervlakkige layoutkwestie, die niet het hart van de wiskunde raakt. Ceinturion 1 okt 2008 22:43 (CEST)

Wortel en bovenstreep

Was het vroeger niet zo dat je het wortelteken rechtsboven "verlengde", zodat alles want onder het lijntje stond "eerst" moest doen ? Is het verschil tussen oude en nieuwe regel niet simpelweg dat je zo'n "lang' wortelteken niet kan maken op een computer , maar wel op een schoolbord? Dus √ab werd geschreven met een doorlopend streepje boven de ab – De voorgaande bijdrage werd geplaatst door 193.172.18.3 (overleg · bijdragen) 17 jul 2009 17:49

Nee, die verandering is al van voor de grootschalige invoering van de computer. In mijn middelbareschooltijd ('75 - '81) heeft een wiskundedocent verteld over die wijziging die jaren tevoren had plaatsgevonden, dus in elk geval voor 1980. Zoals de vraagsteller veronderstelt, had de wijziging wel degelijk een praktische reden, maar wat die was? Ik meen me te herinneren dat het om lees- en schrijfproblemen ging, over computers meldde die docent niets. Zelf maar een beetje gokkend kom ik er op uit dat het "dak" van het wortelteken slecht samengaat met een deelstreep die er direct boven staat, zoals bij één-gedeeld- door- helelangewortel. Bij gebruik van pen of potlood heb je een liniaal nodig, bij krijt en schoolbord zelfs een speciale bordenliniaal. Het leidt allemaal tot een hoop gedoe, en bij onhandigheid of slordigheid tot akelige misverstanden.

Met vriendelijke groet, ^{b222  ?!}bertux 17 jul 2009 21:33 (CEST)

Ik ben verbaasd, zijn jullie allebei van mening dat de wortelbovenstreep ('de verlenging rechtsboven') is afgeschaft? Dat klopt niet, de wortel met bovenstreep is nog steeds standaard. Een uitzondering was de "Sigma"-wiskundeschoolboekenserie in de jaren '70-'90, die gebruikte geen wortelbovenstreep maar haakjes, bijvoorbeeld √(a+b) voor √ a+b. Maar de andere wiskundeboekenseries hebben de bovenstreep gehandhaafd. Ik heb ook wel eens de bewering gelezen dat de schrijfwijze √(......) terrein zou winnen op √ ...... omdat de doorlopende streep boven een meerterm voor tekstverwerkers typografisch lastig zou zijn als sommige termen zelf weer een wortelvorm zijn.[1] Dit probleem heeft echter aan kracht ingeboet sinds veel tekstverwerkers een formule-editor bevatten of LaTeX ondersteunen (zoals wikipedia). Slordig handgeschreven formules met bovenstrepen of breukstrepen die elkaar per ongeluk raken kunnen verwarring opleveren, dat geef ik toe, maar andere mensen zijn weer slordig met haakjes schrijven.

De Sigma wiskundeschoolboekenserie was overigens ook opmerkelijk omdat deze tot in de jaren '90 vasthield aan de oude bewerkingsvolgorde MVDWOA, dus zonder bovenstreep √2·3 = √(2·3), √ab = √(a·b) en √15:5 = √(15:5).

(K.H. Cohen, Sigma wiskunde voor mavo, havo, vwo - deel 2mh, 1974; W.H.H. van der Maaten, Sigma 5vA - VWO wiskunde A, 1990). Ceinturion 19 jul 2009 13:12 (CEST)

Ik ben verbaasd, bestaat hij nog formeel? Ik heb trouwens dit jaar ook nog ergens gezien/gehoord dat alle bewerkingen tegenwoordig volledig van links naar rechts geëvalueerd worden. We moeten oppassen met zekerheden, zelfs van een hoge autoriteit als een wiskundedocent. Nog even en de verwarring neemt zo toe dat we voor de zekerheid ongeveer alles tussen haakjes moeten plaatsen. Is er een werkelijk zwaarwegende bron te vinden die de juiste variant expliciet stelt of zo duidelijk gebruikt dat twijfel uitgesloten is?

Ik wil overigens benadrukken dat ik met mijn opmerkingen niemand aan het werk wil zetten. Als ik mijn twijfel belangrijk genoeg vind, moet ik zelf maar aan de slag, en dat ga ik niet doen.

Met vriendelijke groet, ^{b222  ?!}bertux 19 jul 2009 14:31 (CEST)

Ik heb een paar recente wiskundeschoolboeken doorgebladerd, dat is de beste bron die we hebben voor de situatie in Nederland, en het geeft antwoord op een deel van je vragen.

- Over de bovenstreep: de huidige drie grote series (Getal en ruimte, Moderne wiskunde, Netwerk) noteren alle wortels met de traditionele bovenstreep. Vrijwel de hele schooljeugd leert dus wortels met bovenstreep kennen. (De genoemde Sigma-serie wordt niet meer uitgegeven).

- Over de bewerkingsvolgorde: die wordt ook expliciet beschreven en geoefend in de drie grote series. De bewerkingsvolgorde is H(MW)(VD)(OA) volgens Netwerk en Moderne wiskunde; en beperkter H(VD)(OA) volgens Getal en ruimte. De oefensommetjes zijn bijvoorbeeld 6+2·5 = 16 en 18:9·2 = 4 (ouderwets delen met een dubbele punt!).

(geraadpleegde boeken: C. Brouwer, Netwerk 1A havo vwo, 2003; I. de Bruijn, Moderne Wiskunde havo/vwo deel 1A, 2007; L.A. Reichard, Getal en ruimte 1 vmbo-T/havo deel 1, 2007.) Ceinturion 19 jul 2009 23:07 (CEST)

Op wortel (wiskunde) staan genoeg voorbeelden met een doorgetrokken wortelstreep. Ѕіmоn dе Dаnѕеr (overleg) 2 sep 2016 12:57 (CEST)

elders mijn heil zoeken

Door het geklooi van schrijvers, en inconsistentie, met het daarbij eisen van ingrepen. Heb ik weinig behoefte om mijn energie te steken in rapporteren en ga zo maar door. Joost 6 jan 2011 22:29 (CET) ^{(Sokpop: Panta Rhei)}

12:4x3 = 9

@ anonieme gebruiker 82.173.166.75: Het moderne antwoord op 12:4x3 is 9. In recente Nederlandse wiskundeboeken staan vergelijkbare voorbeelden zoals 18:9·2 = 4 en 24/2x3 = 36. Je edit van vandaag waarin je het antwoord op 12:4x3 veranderde in 1 klopte dus niet, daarom is die edit teruggedraaid. 1 Moretim (overleg) 14 feb 2011 00:10 (CET)

Het gaat niet om afspraken, maar om wat de gebruikelijke voorrang is tussen notatie-varianten

De huidige tekst is lang niet slecht in vergelijking met wat je elders wel ziet. Toch lijken me nog zeer essentiële verbeteringen mogelijk. Graag commentaar op onderstaande punten.

A. Bij regel 1: "...is een afspraak...".
Al (veel) langer dan een eeuw wordt er over deze kwestie gesproken en geschreven alsof het om een "afspraak" zou gaan. Echter, nog nimmer is boven water gebracht wanneer, waar, door wie, en bij welke gelegenheid die afspraak gemaakt is. Staat daar iets van op schrift?
En wanneer en door wie is besloten tot vervanging van (wat in de artikeltekst genoemd wordt) de 'oudere volgorde' door de 'moderne volgorde'? Is toen echt besloten dat voortaan 6ab : 2b gelezen dient te worden als gelijkwaardig met 3ab² ipv. 3a ?
Waar over het onderwerp 'bewerkingsvolgorde' geschreven is, kan dit toch alleen maar gezien als pogingen tot codificatie van wat door de auteur als usance ervaren wordt, binnen een (meestal onvermelde) doelgroep? (In de vroegere ULO/MULO-eindexamens kwamen expliciet opgaven als 12 : 3 × 4 = ... voor. Maar nooit heb ik kunnen vinden waar/wanneer formeel het 'goede' antwoord is overeengekomen.)

B. Bij regel 1: "...de volgorde waarin bewerkingen...".
In feite gaat het niet om de volgorde van bewerkingen als optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, etc., maar om de prioriteit tussen de verschillende aanduidings-wijzen van de diverse (binaire en unaire) operaties. Is er verschil tussen:
a : b × c en a : b · c en a : bc en a ÷ b × c en a ÷ b · c en a ÷ bc en a / b × c en a / b · c en a / bc ? Kan de prioriteit afhangen van de gekozen spatiëring?
Is 4 ^ 3 ^ 2 gelijk aan 4 ^ 3 ² ?
Is "driemaal vijf plus twintig" wel of niet evenveel als "driemaal vijf-en-twintig" ?

C. Bij regel 2: "...het uitwerken van een rekenkundige expressie."
Het gaat hier net zo goed om notatie-gewoonten bij algebraïsche als bij rekenkundige uitdrukkingen.
En ook dat 'uitwerken' doet niet ter zake: wat is er uit te werken aan (1 + 2 × π) of aan (1 + 2 sqrt 3).

D. Bij het interpreteren van een wiskundige expressie voor wat betreft de bewerkingsvolgorde, gaat het niet om het toepassen van universele regels maar om het inschatten van de prioriteiten die bij het schrijven van de expressie bedoeld zullen zijn.

E. De slotregel van het artikel zegt: "de notatie 3/5x wordt afgeraden". Zou hetzelfde niet ook gezegd kunnen (moeten?) worden mbt. de notatie 3 : 5x ?
-- Hesselp (overleg) 31 mrt 2017 23:47 (CEST)

Moderne volgorde

«De moderne volgorde, die in de Nederlandse wiskundeschoolboeken beschreven en geoefend wordt, is:»

(Sorry for writing in english, I’m a newcomer to Dutch, please translate.)

Since when is «Moderne volgorde» used in Nederland? Since 1992? KjellG (overleg) 27 apr 2018 12:43 (CEST)

Depends which book ones school used. Could be as early as 1960s. In the 1990s the old method was on its last legs. –bdijkstra (overleg) 27 apr 2018 13:07 (CEST)

I think this timing should be reflected in the article. KjellG (overleg) 27 apr 2018 15:03 (CEST)

It is already in the article. –bdijkstra (overleg) 27 apr 2018 15:22 (CEST)

Oudere volgorde

(Again, please translate my English)

In the old system you used MVDWOA. If division has higher order than roots, how to calculate 6/sqrt(2)? KjellG (overleg) 27 apr 2018 13:03 (CEST)

That expression is unambiguous. –bdijkstra (overleg) 27 apr 2018 13:08 (CEST)

No problem if the rule is MWV/DO/A, but if the rule is MVDWO/A, how did you perform the division before the root? KjellG (overleg) 27 apr 2018 15:02 (CEST)

You can't. You're being silly. The rules exist for solving ambiguity. There is none here. –bdijkstra (overleg) 27 apr 2018 15:23 (CEST)

OK, please construct another example where it is nessecary to do division before roots. I do not see that with x^n n>1 you do eksponents before division, but if n<1 you do division before roots. Please, instead of calling me silly, explain how to interprete the difference between MVDWOA and MWVDOA=BODMAS regarding the W. KjellG (overleg) 27 apr 2018 21:27 (CEST)

For example, √ 9 : 3 is ambiguous. With MVDWOA the answer is √(9 : 3) = √3, but with MWVDOA the answer is (√9) : 3 = 1. –bdijkstra (overleg) 27 apr 2018 21:51 (CEST)

"Behalve bij machtsverheffen"?

@Patrick: gisteren heb je aan de zin "Gelijkwaardige bewerkingen worden van links naar rechts uitgevoerd" toegevoegd "behalve bij machtsverheffen".(diff) Die toevoeging is onduidelijk. Machtsverheffen is alleen gelijkwaardig met worteltrekken, dus het lijkt erop dat je je richt op √x², waarbij de wortel geen bovenstreep heeft. Voor negatieve x maakt je toevoeging uit, en jij vindt blijkbaar dat dat √(x²) moet betekenen, en niet (√x)². Heb je daar een goede bron voor, of is het je persoonlijke mening? Ceinturion (overleg) 6 nov 2018 13:31 (CET)

Vraag aan Patrick en aan Centurion: Voorzie de volgende vormen van voorrangs-haakjes, op de als meest correct geziene manier. (Is er onderscheid tussen publicaties bedoeld voor vmbo, havo, vwo, universitair niveau, wetenschappelijk niveau, Wikipedia-publiek, ... ?). Of bedenk een betere vraagstelling.

√x²,   √x ²,   √ x ²,   √ x²

√(x)²,   √(x) ²,   √ (x) ²,   √ (x)²

√x^2,   √x ^2,   √ x ^2,   √ x^2

x^½^2, etc.     (Stelt x^½ een worteltrekking voor, of een machtsverheffing?)

sqrt(x)², etc.

sqrt(x)^2, etc.

de vierkantswortel uit x in het kwadraat,  de vierkantswortel uit x²,   √x in het kwadraat

Als je voor de machtsverheffing ook een prefix-notatie kiest, is de zaak ook zonder haakjes ondubbelzinnig; zoals in mensentaal: het kwadraat van de vierkantswortel van getal x versus de vierkantsworten uit het kwadraat van getal x . -- Hesselp (overleg) 6 nov 2018 18:40 (CET)

Ik doelde op de regel dat $a^{b^{c}}$ betekent $a^{(b^{c})}$ ("gelijkwaardig" wordt hier bedoeld met inbegrip van "gelijk"). Ik heb het aangepast. - Patrick (overleg) 6 nov 2018 19:41 (CET)

Bedankt voor de uitleg! Ceinturion (overleg) 6 nov 2018 21:11 (CET)

@Patrick. Je toelichting maakt het een en ander duidelijk. Blijft staan dat de huidige tekst (sectie Moderne volgorde) uit de 'moderne afspraak' laat volgen: 2^3^4 = 2^3⁴ = (2^3)^4. (Probeer eens op een calculator). En ook dat 1 : 2π groter zou zijn dan 1.

Met het "...is een afspraak..." in de eerste regel blijf ik moeite hebben. Waar, wanneer en door wie zouden zulke 'afspraken' zijn gemaakt? Niet dus (of misschien recent? Bron?). Kun je niet beter beginnen met te zeggen: Bewerkingsvolgorde slaat op het stelsel van gewoonteregels met betrekking tot ... (of zoiets)? -- Hesselp (overleg) 6 nov 2018 22:00 (CET)

Zoals ik het in het artikel heb gezet gaat het over de betreffende notatie, dus klopt het wel. Bij gebruik van "^" is het inderdaad oppassen, Google doet het anders dan Excel. - Patrick (overleg) 7 nov 2018 11:34 (CET)

Het wordt nog wat completer, lijkt me, als je de uitzondering na 'behalve' aanvult met "en dat er voor de een-regel-notatie a^b^c geen vaste gewoonte lijkt te zijn." (Of zoiets.) -- Hesselp (overleg) 7 nov 2018 12:55 (CET)

Goed punt, gedaan. - Patrick (overleg) 8 nov 2018 11:26 (CET)

Twee voorstellen

Welke bezwaren worden eventueel gezien tegen:
- Het vervangen van de eerste zes woorden door; "Bewerkingsvolgorde slaat op het stelsel van gewoonteregels met betrekking tot ..." (Wanneer er gegevens bekend zijn over concrete afspraken - wanneer, door wie, reikwijdte, inhoud, ... - lijkt me vermelding hier aanbevolen.)
- Het toevoegen als voetnoot bij de gestapelde machtsverheffing: "De van-rechts-naar-links-volgorde voor $a^{b^{c}}$ is als volgt te verklaren. Na $a$ volgt een gedeelte dat niet op de schrijflijn staat maar als bovenindex is genoteerd. Dat bovenindex-zijn duurt voort tot er weer iets op de schrijflijn staat (eventueel alleen een punt). Het niet-op-de-schrijflijn-staan blijkt dezelfde werking te hebben als een dekstreep en als haakjes. -- Hesselp (overleg) 8 nov 2018 20:52 (CET)

Een andere verklaring kan zijn dat het in de andere betekenis gewoon $a^{bc}$ is, en je dan dat wel kan schrijven. Je kan ook spreken van twee voordelen van deze conventie. - Patrick (overleg) 8 nov 2018 22:25 (CET)

M.b.t. "bewerkingsvolgorde". Is dat wat op pag. 20, onder Volgorde van bewerking, staat van de Syllabus rekenen 2F en 3F, afkomstig van het "College voor Toetsen en Examens" (een rijkscollege, overheidsinstantie) officieel genoeg? Zie: hier. Dit is toch zeker en in ieder geval geldend (verplicht?) binnen het (Nederlandse voortgezet) onderwijs. - DaafSpijker _overleg 19 nov 2018 11:58 (CET)

Daarin staat "machtsverheffingen en worteltrekkingen in de volgorde waarin ze in een berekening voorkomen", wat afwijkt van het bovenstaande. Het lijkt me meer een kwestie van "een regel zoals dat $a^{b^{c}}$ betekent $a^{(b^{c})}$ hoeft men op dit niveau niet te weten". - Patrick (overleg) 19 nov 2018 14:02 (CET)