Hadamardproduct

Het Hadamardproduct of Schurproduct is in de wiskunde een bijzonder product van twee matrices met evenveel rijen en kolommen. Elk element in het Hadamardproduct is het product van de corresponderende elementen in de twee matrices.

In het Hadamardproduct is elk element het product van de overeenkomstige elementen in twee matrices.

Deze bewerking is genoemd naar de wiskundigen Jacques Hadamard en Issai Schur. De naam Hadamardproduct voor deze bewerking schijnt voor het eerst gebruikt te zijn door Paul Halmos in 1948. Andere auteurs hebben ze genoemd naar Issai Schur, die een aantal stellingen in verband met deze bewerking heeft bewezen. Het Hadamardproduct is onder meer in de statistische analyse en multivariabele analyse bruikbaar.[1]

DefinitieBewerken

Van de matrices   en   met   rijen en   kolommen is het Hadamardproduct, genoteerd als  , de  -matrix met als elementen:

 

Dus

 

Hierin zijn de elementen   en   reële of complexe getallen.

Het Hadamardproduct verschilt duidelijk van de gewone matrixvermenigvuldiging. Om dit duidelijk te maken gebruikt men voor het Hadamardproduct het symbool   (soms   of  ). Enkel wanneer   en   diagonaalmatrices zijn, is het Hadamardproduct   gelijk aan de matrixvermenigvuldiging  

VoorbeeldBewerken

Het Hadamardproduct van de matrices

    en    

is

 .

EigenschappenBewerken

  • Anders dan de matrixvermenigvuldiging is het Hadamardproduct commutatief:  .
  • Het is distributief t.o.v. de matrixoptelling:  .
  • Het is lineair:  , waarin   een (complexe) constante is.

Deze eigenschappen volgen rechtstreeks uit de eigenschappen van de vermenigvuldiging van reële of complexe getallen.

  • De "identiteitsmatrix" voor het Hadamardproduct is een matrix waarvan elk element gelijk is aan 1. Deze wordt aangeduid als   om verwarring met de identiteitsmatrix   te vermijden.
  • De "Hadamardinverse" van een matrix   aangeduid als   bestaat slechts als elk element van   verschilt van nul. Elk element van   is de inverse van het corresponderende element van  :   Dan is  
  • De verzameling  -matrices waarvan alle elementen verschillen van nul, vormt een Abelse groep met als bewerking het Hadamardproduct.
  • Het Hadamardproduct van twee positief-semidefiniete  -matrices is ook positief-semidefiniet. Het Hadamardproduct van twee positief-definiete matrices is ook positief-definiet. Een symmetrische matrix is positief-definiet als en slechts als hij kan geschreven worden als het Hadamardproduct van twee positief-definiete matrices. De Duitse wiskundige Issai Schur bewees dit voor het eerst in 1911.[2]
  • Als   en   twee positief-semidefiniete matrices zijn, geldt voor de determinant van hun Hadamardproduct de ongelijkheid van Oppenheim:
 
  • Als   en   twee  -matrices zijn, dan geldt voor de rang van hun Hadamardproduct:
 
  • Als   en   twee  -matrices zijn is het  -de diagonaalelement van het matrixproduct   gegeven door:
 
Hieruit kan men afleiden dat het spoor van   gelijk is aan de som van alle elementen van het Hadamardproduct  .
Als   en   beide vierkante matrices zijn, is de som van de  -de rij in   gelijk aan het  -de diagonaalelement van  :
 
  • Het Hadamardproduct van twee  -matrices   en   is een deelmatrix van het Kronecker-product van   en   de elementen van het Hadamardproduct staan op de kruisingen van de kolommen   en de rijen   van het Kronecker-product.