Convexe functie

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, wordt een reëelwaardige functie $f$, gedefinieerd op een bepaald interval, convex genoemd over dat interval als voor twee willekeurige punten $x$ en $y$ in dat interval en voor elke $t$ in [0,1] geldt dat

Grafiek van een convexe functie op een interval.

$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$

In andere woorden een functie is convex dan en slechts dan als haar epigraaf (de verzameling van punten die op of boven de grafiek) liggen) een convexe verzameling is.

In beelden uitgedrukt wordt een functie 'convex' genoemd op een bepaald interval, als de functie voor elke twee punten in dat interval onder het rechte lijnstuk ligt dat deze twee punten met elkaar verbindt.

Een functie wordt strikt convex genoemd als

$f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)$

voor elke $t$ in (0,1) en $x\neq y$.

Concave functie

Van een functie $f$ wordt gezegd dat deze concaaf is als $-f$ convex is. Men spreekt soms ook van een holle functie. Een convexe functie wordt ook een bolle functie genoemd.

Eenvoudig gezegd: de grafiek van een convexe functie is van de vorm $\cup$ en van een concave functie van de vorm $\cap$.

Eigenschappen

Als $f$ convex is op het interval $I,$ en $I_{0}$ is het inwendige van $I$ (d.w.z. dat eventuele randpunten worden weggelaten), dan heeft $f$ op $I_{0}$ overal een linkerafgeleide $f_{-}'$ en een rechterafgeleide $f_{+}'$. Beiden zijn stijgende functies, en $f_{-}'\leq f_{+}'$. Ze zijn gelijk (en dus is $f$ afleidbaar) op hoogstens een aftelbaar aantal punten na.

Een functie $f$ is convex op het open interval $I$ als en slechts als ze geschreven kan worden als integraal van een stijgende functie $g$ op dat interval:

$\exists c\in I,\forall x\in I:f(x)-f(c)=\int _{t=c}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t$

Zie ook

• Convex
• Convexe verzameling

Externe links

• (en) Stephen Boyd en Lieven Vandenberghe, Convexe optimalisatie (pdf)

Bronnen, noten en/of referenties