Hoofdmenu openen
Een convexe verzameling.

In de euclidische ruimte is een verzameling of object convex als voor ieder tweetal punten van die verzameling het rechte lijnstuk dat deze twee punten verbindt, geheel binnen de verzameling ligt. Een massieve kubus is bijvoorbeeld convex, maar alles wat hol van binnen is of waar een deuk in zit, zoals een vorm als de wassende maan, is niet convex.

In de euclidische meetkundeBewerken

Men zegt dat een verzameling   in een reële of complexe vectorruimte convex is, als voor alle   en   in   en alle   in het interval [0,1], het punt

 

element is van  .

Met andere woorden: elk punt op het lijnstuk dat   en   verbindt ligt in  . Dit impliceert dat een convexe verzameling in een reële of complexe topologische vectorruimte samenhangend is.

Een verzameling   wordt absoluut convex genoemd als deze verzameling zowel convex als evenwichtig is.

 
Een niet-convexe verzameling.

De convexe deelverzamelingen van de reële getallen   zijn simpelweg de intervallen in  . Voorbeelden van convexe deelverzamelingen in het euclidische vlak zijn regelmatige veelhoeken en lichamen van constante dikte. Voorbeelden van convexe deelverzamelingen in de (driedimensionale) euclidische ruimte zijn de Archimedische- en de Platonische lichamen. De kepler-poinsot-lichamen zijn voorbeelden van niet-convexe verzamelingen.

EigenschappenBewerken

Als   een convexe deelverzameling is van   en  , dan is voor de niet-negatieve getallen  , met

 ,

de lineaire combinatie

 

element is van  

Een vector van dit type staat bekend als een convexe combinatie van  .

De doorsnede van enige collectie van convexe verzamelingen is zelf ook convex. De convexe deelverzamelingen van een (reële of complexe) vectorruimte vormt dus een complete tralie. Dit betekent ook dat enige deelverzameling   van de vectorruimte zich in de kleinste convexe verzameling bevindt (het convex omhulsel van  ), namelijk de doorsnede van alle convexe verzamelingen die   bevatten.

 
Een functie (blauw) is convex dan en slechts dan als het gebied boven de grafiek (in het groen) een convexe verzameling is.

Gesloten convexe verzamelingen kunnen worden gekarakteriseerd als de doorsneden van gesloten half-ruimten (verzamelingen van punten in de ruimte die op en aan één kant van een hypervlak liggen). Hieruit volgt dat zulke doorsneden convex zijn, en dat zij ook gesloten verzamelingen zijn. Om het omgekeerde te bewijzen, dat wil zeggen, dat elke convexe verzameling kan worden weergegeven als zo'n doorsnede, heeft men de ondersteunende hypervlak-stelling nodig. Bij een gegeven gesloten convexe verzameling   en een gegeven punt   bestaat er een gesloten half-ruimte   die   omvat en niet   bevat. De ondersteunende hypervlak-stelling is een speciaal geval van de stelling van Hahn-Banach uit de functionaalanalyse.

Zie ookBewerken

Externe linkBewerken