Convexe functie

(Doorverwezen vanaf Concave functie)

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, wordt een reëelwaardige functie , gedefinieerd op een bepaald interval, convex genoemd over dat interval als voor twee willekeurige punten en in dat interval en voor elke in [0,1] geldt dat

Grafiek van een convexe functie op een interval.

In andere woorden een functie is convex dan en slechts dan als haar epigraaf (de verzameling van punten die op of boven de grafiek) liggen) een convexe verzameling is.

In beelden uitgedrukt wordt een functie 'convex' genoemd op een bepaald interval, als de functie voor elke twee punten in dat interval onder het rechte lijnstuk ligt dat deze twee punten met elkaar verbindt.

Een functie wordt strikt convex genoemd als

voor elke in (0,1) en .

Concave functieBewerken

Van een functie   wordt gezegd dat deze concaaf is als   convex is. Men spreekt soms ook van een holle functie. Een convexe functie wordt ook een bolle functie genoemd.

Eenvoudig gezegd: de grafiek van een convexe functie is van de vorm   en van een concave functie van de vorm  .

EigenschappenBewerken

Als   convex is op het interval   en   is het inwendige van   (d.w.z. dat eventuele randpunten worden weggelaten), dan heeft   op   overal een linkerafgeleide   en een rechterafgeleide  . Beiden zijn stijgende functies, en  . Ze zijn gelijk (en dus is   afleidbaar) op hoogstens een aftelbaar aantal punten na.[1]

Een functie   is convex op het open interval   als en slechts als ze geschreven kan worden als integraal van een stijgende functie   op dat interval:[1]

 

Zie ookBewerken

Externe linksBewerken