Bernsteinpolynoom
De bernsteinpolynomen (genoemd naar Sergej Natanovitsj Bernstein) zijn een familie speciale reële polynomen met geheeltallige coëfficiënten.
Betekenis en geschiedenis
bewerkenDe bernsteinpolynomen vinden hun oorsprong in de approximatietheorie. Hun bedenker, Bernstein, kon met behulp van deze polynomen een constructief bewijs leveren voor de stelling van Stone-Weierstrass]. Aan het einde van de jaren vijftig werden voor het eerst pogingen ondernomen methoden op basis van bernsteinpolynomen te gebruiken bij het ontwerpen van krommen en oppervlakken. Paul de Faget de Casteljau bij Citroën en Pierre Bézier bij Renault gebruikten de polynomen bij hun ontwikkeling van de béziercurven en legden zo de basis van het huidige Computer Aided Design (CAD).
Definitie
bewerkenVoor zijn de bernsteinpolynomen van graad de reële polynomen
met en .
Door affiene transformaties van het interval naar een interval ontstaan de gegeneraliseerde bernsteinpolynomen:
voor
Hierin is een binomiaalcoëfficiënt.
De eerste bernsteinpolynomen 0 1 2 3
Voorbeeld
bewerkenDe afbeelding toont de bernsteinpolynomen , van graad op het interval .
Eigenschappen
bewerkenDe bernsteinpolynomen op het interval hebben de volgende eigenschappen:
- Basiseigenschap: De bernsteinpolynomen zijn lineair onafhankelijk en vormen een basis van , de ruimte van de polynomen van graad kleiner of gelijk aan .
- Positiviteit: voor alle .
- Extrema: De polynoom heeft precies één (absoluut) maximum op het interval in het punt . In het bijzonder is dus:
- Opdeling van 1: De bernsteinpolynomen van graad zijn de termen in de binomiale ontwikkeling:
- voor en
- Teruglopend:
Benadering door bernsteinpolynomen
bewerkenVoor een functie heet de polynoom gedefinieerd door
de -de bernsteinpolynoom van .
Als een continue functie is op het interval , convergeert de rij van zijn bernsteinpolynomen uniform naar .
Het bewijs hiervan kan onder andere geleverd wordenmet behulp van de zwakke wet van de grote getallen.
Voorbeeld
bewerkenDe benadering van de functie
door bernsteinpolynomen van de graad 4 is de bernsteinpolynoom van :
In de figuur staat de functie en de benaderingen voor en .
Literatuur
bewerken- Bernstein, S.N., Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités, Commun. soc. Math. Charkov, deel 12, nr. 2, blz. 1-2, 1912/1913.