Hoofdmenu openen
De binomiaalcoëfficiënten zijn de invoerwaarden in de driehoek van Pascal.

Een binomiaalcoëfficiënt, geschreven als

(spreek uit: n boven k of n over k)

is een grootheid uit de combinatoriek die aangeeft op hoeveel manieren men uit (verschillende) objecten er zonder terugleggen kan kiezen. Zo'n mogelijke keuze heet combinatie of greep. Een binomiaalcoëfficiënt is gedefinieerd als het natuurlijke getal:

en

NotatieBewerken

Als alternatieve notatie voor de binomiaalcoëfficënt   komen voor:   en  , waarin de   staat voor de Engelse woorden 'combination' of 'choice'. Op sommige zakrekenmachines staat eenvoudigweg nCk of nCr.

VoorbeeldBewerken

Hoeveel kleurencombinaties zijn er mogelijk bij een keuze van drie kleuren uit de zeven kleuren van de regenboog? De volgorde van de kleuren is niet van belang. Dat zijn er

 

Hoe komt men tot de waarde van deze coëfficiënt? Voor de eerste kleurkeuze zijn er 7 mogelijkheden, voor de tweede nog 6, en voor de derde nog 5. In totaal dus   mogelijkheden.

Maar daarbij is rekening gehouden met de volgorde van de kleuren: eerst kan rood en dan geel gekozen zijn, maar ook eerst geel en dan rood. Om van deze volgorde af te zien, moet nog gedeeld worden door het aantal volgordes van de drie kleuren; dat is

 

AlgemeenBewerken

Er zijn   mogelijkheden om   objecten op volgorde uit   verschillende te kiezen zonder terugleggen. Van elk gekozen  -tal zijn er   mogelijke volgordes. De binomiaalcoëfficiënt is dus  .

OorsprongBewerken

De benaming binomiaalcoëfficiënt verwijst naar de uitwerking van een macht van een tweeterm (binoom=tweeterm), zie binomium van Newton. Blaise Pascal raakte geïnteresseerd in dergelijke uitwerkingen in zijn correspondentie met Pierre de Fermat in 1654.[1]

Driehoek van PascalBewerken

Het combinatorische karakter van de binomiaalcoëfficiënten leidt tot de volgende eigenschap:

 ,

die zich gemakkelijk laat begrijpen door van de   objecten er 1 apart te leggen en uit de overige   er nog   en deze aan te vullen met het ene apart gelegde object, of alle   uit de   overige te kiezen.

De bovenstaande recursieve formule laat zich fraai weergeven in de zgn. driehoek van Pascal (zie aldaar).

EigenschapBewerken

Voor een priemgetal   is de binomiaalcoëfficiënt   voor alle   een veelvoud van  . In de driehoek van Pascal staan op een rij met een priemgetal op de tweede plaats alleen maar veelvouden van dat getal, behalve natuurlijk de 1 aan begin en eind.

Dit is eenvoudig in te zien, aangezien

 ,

voor alle  , een natuurlijk getal is en de teller wel een priemfactor   heeft, maar de noemer niet.

Als omgekeerd voor een natuurlijke   de binomiaalcoëfficiënt   voor alle   een veelvoud van   is, is   een priemgetal.

Bewijs

Via een bewijs uit het ongerijmde. Veronderstel namelijk dat   samengesteld is. Noem   de kleinste priemfactor van  , en  . Dan is   en is

 ,

geen veelvoud van  , waarmee een tegenspraak is geconstrueerd.

Immers, als   wel een veelvoud van   zou zijn, dan zou de teller   deelbaar zijn door  . Dit kan alleen het geval zijn als het product   deelbaar is door  . Maar   is een priemgetal en is een deler van  ; hieruit volgt dat het niet een deler is van een van de factoren uit het product  . En dus is   ook niet een factor van het product zelf.

ToepassingBewerken

De binomiaalcoëfficiënten vinden toepassing in onder andere het binomium van Newton en in de kansrekening bij de binomiale verdeling. In het eenvoudige geval van de polynoom   is de binomiaalcoëfficënt   de coëfficiënt van de  -de macht van  :

 

Externe linkBewerken