Voorwaardelijke kans

Een voorwaardelijke kans of voorwaardelijke waarschijnlijkheid is de kans op een bepaalde gebeurtenis, gegeven dat een andere gebeurtenis plaatsvindt, waardoor de mogelijke uitkomsten beperkt zijn. De voorwaardelijke kans dat een gebeurtenis plaatsvindt, gegeven dat een andere gebeurtenis plaatsvindt, wordt genoteerd als en is gedefinieerd als:

met andere woorden, de verhouding van de kans dat en beide zijn opgetreden en de kans op zelf.

Let op: de streep in de notatie van een voorwaardelijke kans is een rechtopstaande streep, niet een (schuine) deelstreep!

In plaats van de voorwaardelijke kans op , gegeven , wordt ook vaak gesproken van de kans op onder de voorwaarde .

VerklaringBewerken

Als bekend is dat de gebeurtenis   is opgetreden of zal optreden, is het duidelijk dat alleen gebeurtenissen die deel van   uitmaken nog een positieve voorwaardelijke kans kunnen hebben. Gebeurtenissen die buiten   liggen hebben voorwaardelijke kans 0. Verder zullen gebeurtenissen binnen   voorwaardelijke kansen hebben die onderling dezelfde verhouding hebben als de onvoorwaardelijke. Voor een willekeurige gebeurtenis   ligt alleen het deel   binnen  . Dus is er een positief getal   zodanig dat voor elke gebeurtenis   geldt:

 

Omdat dit ook voor   geldt en er voorwaardelijk geen kans is buiten  , volgt:

 

dus:

 

VoorbeeldenBewerken

Als we veronderstellen dat 50% van de Nederlandse bevolking man, en 50% van de bevolking vrouw is, dan is de kans dat een willekeurig gekozen Nederlander een vrouw is 1/2. Weten we dat de gekozen persoon uit Friesland komt, dan is de (voorwaardelijke) kans dat het een vrouw is nog steeds 1/2. In Friesland is immers ook de helft van de bevolking vrouw. Anders is het vermoedelijk als we nagaan of de gekozen persoon met een zachte g spreekt. De voorwaardelijke kans op "een zachte g" als gegeven is dat de gekozen persoon uit Friesland komt, is veel kleiner dan de (onvoorwaardelijke) kans op een Nederlander met een zachte g. In Friesland wordt immers nauwelijks met een zachte g gesproken.

Vaak leiden voorwaardelijke kansen tot resultaten die men niet direct voor de hand vindt liggen.

Van een gezin van vier kinderen is gegeven dat er minstens drie meisjes zijn. Wat is de (voorwaardelijke) kans dat het andere kind een jongen is? Die kans is 4/5, want:

 .

Daarin stelt bijvoorbeeld de reeks "mmjm" de gezinssituatie voor dat het derde kind een jongen is.

Anders gezegd, van alle gezinnen met vier kinderen van wie minstens drie meisjes, heeft 80% precies drie meisjes.

ToepassingBewerken

Het theorema van Bayes is een belangrijke toepassing van voorwaardelijke kansen.

GeneralisatieBewerken

Het begrip voorwaardelijke verwachting generaliseert voorwaardelijke kansen tot stochastische variabelen.