Samengestelde relatie

In de abstracte verzamelingenleer kan met behulp van twee relaties tussen verzamelingen soms een nieuwe relatie gevormd worden, de samengestelde relatie. Als namelijk in een zekere relatie staat tot , en staat op zijn beurt weer in een relatie met , dan is er dus een relatie tussen en , die de samengestelde relatie heet.

DefinitieBewerken

Zij   een relatie tussen de twee verzamelingen   en  , dus   is een deelverzameling van het cartesisch product  , en   een relatie tussen   en  , dus:

 

De samengestelde relatie van   en   is gedefinieerd als

 

De notatie   wordt soms gelezen als "  (komt) na  ".

De definitie van de functiecompositie of de samengestelde afbeelding komt daarmee overeen. Als   een functie of afbeelding is van   naar  , en   van   naar  , dan is   een functie of afbeelding van   naar  , die de functiecompositie of samengestelde afbeelding van   en   wordt genoemd.

VoorbeeldenBewerken

  • De relatie 'kind van' kan met zichzelf samengesteld worden tot de relatie 'kleinkind van'. Als   een kind is van  , en   is een kind van  , dan is   een kleinkind van  .
  • Beschouw de volgende twee relaties tussen de natuurlijke getallen   en zichzelf:
 
 
Dan is hun samengestelde relatie
 
In dit geval heeft ook   zin, en
 
  • Als   en   permutaties zijn van een gegeven verzameling   met een bepaald aantal elementen, dan is   dat ook. De verzameling van alle mogelijke permutaties van   vormt met de bewerking   een groep, genoteerd   en genaamd de symmetrische groep op  .
  • Beschouw de reële functies   en  . Dan bestaan zowel   als  , en
 
 

TransitiviteitBewerken

Een relatie   op een verzameling   is transitief als   een deel is van   zelf.