Filter (wiskunde)

wiskunde

Het wiskundige begrip filter wordt in de topologie gebruikt om de convergentie van rijen te veralgemenen. In metrische ruimten wordt de topologische structuur volledig vastgelegd door de convergente rijen (een verzameling is gesloten als en slechts als ze alle limieten van haar eigen rijen bevat), maar in algemenere topologische ruimten is dit niet meer waar.

Behalve filters kunnen ook netten gebruikt worden om convergentie in algemene topologische ruimten te onderzoeken.

DefinitieBewerken

Zij   een verzameling. Een filter op   is een familie   van deelverzamelingen van   die aan de volgende vier voorwaarden voldoet:

  1.   (niet leeg)
  2.   (echt, dat wil zeggen niet alle deelverzamelingen)
  3.   (gesloten onder eindige doorsnede)
  4.  

In het licht van de vierde voorwaarde is de tweede voorwaarde gelijkwaardig met de eis dat  

VoorbeeldenBewerken

Zij   een niet-lege deelverzameling van  . De familie   is een filter op  .

Zij   een topologische ruimte, en  . Het omgevingenfilter van   is de collectie   van alle omgevingen van  :

 

Verwante definitiesBewerken

Zijn   een verzameling. Een filterbasis op   is een familie   die aan de volgende drie voorwaarden voldoet:

  1.  
  2.  
  3.  

Het woord 'basis' vindt zijn verantwoording in het feit dat een filterbasis op unieke wijze kan worden uitgebreid tot een filter. Daartoe wordt   aangevuld met alle deelverzamelingen die een element uit   omvatten.

 .

Men noemt dit het filter voortgebracht door  .

Een subbasis voor een filter op   is een niet-lege familie   van deelverzamelingen van   met de eigenschap dat een eindig aantal onder hen steeds een niet-lege intersectie heeft.[1] De verzameling der eindige intersecties van een subbasis is een filterbasis, genaamd de filterbasis voortgebracht door  

Een ultrafilter is een maximaal filter, dat wil zeggen een filter dat niet bevat is in een groter filter op  .

Zij   een topologische ruimte. Een filter   op   convergeert naar   als   het omgevingenfilter   van   omvat. De "limiet"   hoeft niet uniek te zijn: de uniciteit van filterlimieten is gelijkwaardig met het scheidingsaxioma van Hausdorff.

Verband met de topologische structuurBewerken

De omgevingenfilter van een element   ligt ondubbelzinnig vast als de doorsnede van alle filters die naar   convergeren. Het begrip "convergent filter" bepaalt dus volledig de topologische structuur van  .

Een afbeelding   tussen twee verzamelingen beeldt elk filter   van   af op een filterbasis van  . Het hierdoor voortgebrachte filter van   noteren we  .

Een afbeelding   tussen twee topologische ruimten is continu in   als en slechts als ze elk filter dat naar   convergeert, afbeeldt op een filter dat naar   convergeert.

Een topologische ruimte is compact als en slechts als elk ultrafilter convergeert. Dit komt op hetzelfde neer als eisen dat elk filter kan uitgebreid worden tot een convergent filter.

Verband met convergente rijenBewerken

Met iedere rij   in een topologische ruimte   associëren we de filterbasis die bestaat uit de staarten van de rij:

 

Het filter voortgebracht door deze basis heet het elementair filter voortgebracht door de rij   Het bestaat uit alle deelverzamelingen van   die alle elementen van de rij, op eventueel een eindig aantal na, bevatten.[1]

De rij convergeert naar een punt   als en slechts als het filter voortgebracht door   de omgevingen van   bevat. Dit verantwoordt de definitie van het begrip "convergent filter".