Rand (topologie)

De topologie is de tak van de wiskunde die op algemene wijze het begrip "nabijheid" bestudeert. De rand van een verzameling bestaat uit de punten die willekeurig dicht bij zowel de verzameling als haar complement liggen.

Definitie

Zij $(X,{\mathcal {T}})$ een topologische ruimte en zij A een deelverzameling van X. De rand van A, genoteerd $\delta (A)$, bestaat uit de punten van X die willekeurig dicht benaderd worden zowel door punten van A als door punten van haar complement A^c. Dit wil zeggen dat een punt p tot de rand van A behoort als elke willekeurig kleine omgeving van p zowel A als A^c snijdt.

$\delta (A)=\{p\in X|\forall V\in {\mathcal {V}}(p):V\cap A\neq \emptyset \land V\setminus A\neq \emptyset \}$

De rand van A is niet noodzakelijk een deelverzameling van A, zoals uit onderstaande voorbeelden blijkt.

Voorbeelden

Op de reële getallenas met zijn gewone topologie bestaat de rand van een eindig interval met positieve lengte uit het paar van de twee randpunten, ongeacht of het een gesloten, halfopen of open interval betreft.

$\delta [a,b]=\delta (a,b)=\delta (a,b]=\delta [a,b)=\{a,b\}$

Op diezelfde getallenas bestaat de rand van verzameling der rationale getallen (breuken) uit de hele reële as, want elk reëel getal kan geschreven worden als een limiet van breuken, maar ook als een limiet van irrationale getallen.

De rand van X zelf is leeg, omdat het complement van X in zichzelf leeg is.

De rand van de lege verzameling is leeg.

In de discrete topologie is de rand van elke verzameling leeg.

In de indiscrete topologie (triviale topologie $\{\emptyset ,X\}$) is de rand van elke verzameling de hele ruimte X, behalve van de lege verzameling en van de ruimte X zelf, die allebei een lege rand hebben.

Elementaire eigenschappen

De rand van een gesloten verzameling is een deel van die gesloten verzameling.

De rand van een open verzameling is disjunct met die open verzameling.

Een verzameling en haar complement hebben dezelfde rand.

De rand is disjunct met het topologisch inwendige.

De afsluiting (topologie) is de vereniging van het inwendige met de rand. De rand is dus het verschil van de afsluiting met het inwendige.

Afhankelijkheid van X

De rand is geen intrinsieke topologische eigenschap van A, maar hangt af van de inbedding in de ruimte X. Zo is bijvoorbeeld de rand van A in zichzelf, opgevat als een topologische ruimte met de deelruimtetopologie, steeds leeg.