Idempotente matrix

In de algebra is een idempotente matrix een matrix, die met zichzelf vermenigvuldigd weer zichzelf is. Een matrix $M$ is dus idempotent, wanneer $MM=M$. Het is hiervoor noodzakelijk dat $M$ een vierkante matrix is.

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$ en ${\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}$ zijn een voorbeeld van een $2\times 2$ en een $3\times 3$ idempotente matrix.

2 × 2 Voorbeeld

Als een matrix ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ idempotent is, dan

• $a=a^{2}+bc$,
• $b=ab+bd\Rightarrow b(1-a-d)=0\Rightarrow b=0$ of $d=1-a$,
• $c=ca+cd\Rightarrow c(1-a-d)=0\Rightarrow c=0$ of $d=1-a$,
• $d=bc+d^{2}$.

Het is dus voor iedere $2\times 2$ idempotente matrix zo, dat het een diagonaalmatrix is of dat het spoor ervan gelijk is aan 1. Voor iedere idempotente diagonaalmatrix zijn $a$ en $d$ ofwel 1 of 0.

Als $b=c$ is de matrix ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ idempotent als $a^{2}+b^{2}=a$. $a$ voldoet dus aan de vergelijking

$a^{2}-a+b^{2}=0$ of $(a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}$.

Dit is een cirkel met centrum $(1/2,0)$ en straal 1/2. Of, in termen van een hoek $\theta$,

$M={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}$ is idempotent, maar lineair afhankelijk.

$b=c$ is geen noodzakelijke voorwaarde: iedere matrix

${\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}$ met $a^{2}+bc=a$ is idempotent, maar ook weer afhankelijk.

Eigenschappen

Met uitzondering van de eenheidsmatrix is een idempotente matrix singulier. Veronderstel dat $M$ regulier is. $MM=M$ voorvermenigvuldigd met $M^{-1}$ geeft $M=I$.

Het verschil tussen een eenheidsmatrix en een idempotente matrix is weer een idempotente matrix, volgens $[I-M][I-M]=I-2M+M^{2}=I-2M+M=I-M$.

Voor een idempotente matrix $A$ geldt voor alle machten $n\geq 1$ dat $A^{n}=A$.

Een idempotente matrix is altijd diagonaliseerbaar en de eigenwaardes ervan zijn ofwel 0 of 1. Het spoor van een idempotente matrix is gelijk aan de rang van de matrix.

Bronnen, noten en/of referenties