Driehoeksgetal

Een driehoeksgetal is een type veelhoeksgetal. Een driehoeksgetal kan grafisch worden weergegeven door een aantal stippen in een gelijkzijdige driehoek die gelijkmatig met die stippen wordt gevuld.

De eerste zes driehoeksgetallen

Aangezien drie stippen in de vorm van een gelijkzijdige driehoek kunnen worden gelegd, is het getal 3 dus een driehoeksgetal.

Het $n$-de driehoeksgetal is het aantal stippen in een driehoek waarbij dan $n$ stippen op één zijde liggen. 3 is daarmee het tweede (echte) driehoeksgetal. Het eerste tiental driehoeksgetallen bestaat uit de niet-negatieve gehele getallen:

$0,\ 1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ 21,\ 28,\ 36,\ 45$

In de figuur rechts worden de eerste zes weergegeven; de $0$, het $0$-de driehoeksgetal, telt daarbij niet mee.

Definitie

Het $n$-de driehoeksgetal $T_{n}$ is de som van de gehele getallen $1$ tot en met $n$. In formule:

$T_{n}=1+2+3+\ldots +n=\sum _{i=1}^{n}i$

Met behulp van de somformule van Gauss volgt:

$T_{n}={\tfrac {1}{2}}n(n+1)$

Dit is, geschreven als binomiaalcoëfficiënt:

$T_{n}={n+1 \choose 2}$

Toelichting

De binomiaalcoëfficiënt ${\tbinom {n+1}{2}}$ is het aantal combinaties van 2 elementen uit een totaal van $n+1$ elementen. Die combinaties kunnen als volgt onderverdeeld worden:

• Element 1 van de $n+1$ elementen wordt gekozen. Voor het tweede element resteren er dan nog $n$ mogelijkheden.
• Element 1 wordt niet gekozen, maar wel element 2. In dat geval zijn er voor het tweede element nog $n-1$ mogelijkheden.
• De elementen 1 en 2 worden niet gekozen, maar wel element 3. Dan zijn er voor het tweede element nog $n-2$ mogelijkheden.
• Zo voortgaande is te zien dat het totale aantal combinaties gelijk is aan:

${n+1 \choose 2}=n+(n-1)+(n-2)+\ldots +2+1=T_{n}$

Eigenschappen

• Het $n$-de driehoeksgetal is gelijk aan het aantal kanten in een volledige graaf met $n+1$ knopen.
• Een getal $N$ is een driehoeksgetal dan en slechts dan als $8N+1$ een kwadraat is.
• De som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen is een kwadraat, bijvoorbeeld $T_{4}+T_{5}=10+15=25=5^{2}$.
• De som van de eerste $n$ driehoeksgetallen is gelijk aan het $n$-de tetraëdergetal.
• Ieder natuurlijk getal, behalve 0, is te schrijven als som van ten hoogste drie driehoeksgetallen. Dit is bewezen door Gauss in 1796. Deze eigenschap is een bijzonder geval van de veelhoeksgetalstelling van Fermat.
• De som van alle reciproque driehoeksgetallen is:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{n^{2}+n} \over 2}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+n}}=2$

Dit volgt uit de telescoopsom:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=1$

Zie ook

• Driehoekskwadraatgetal

Bronnen

• Beukers, F. (1999): Getaltheorie voor beginners. Utrecht: Epsilon uitgaven.

---

Referenties

Mediabestanden

Zie de categorie Triangular numbers van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.