Driehoeksgetal

Een driehoeksgetal is een type veelhoeksgetal. Een driehoeksgetal kan grafisch worden weergegeven door het aantal stippen in een gelijkzijdige driehoek, die gelijkmatig met stippen wordt gevuld. Aangezien bijvoorbeeld drie stippen in de vorm van een gelijkzijdige driehoek kunnen worden gelegd, is drie dus een driehoeksgetal.

De eerste zes driehoeksgetallen

Het -de driehoeksgetal is het aantal stippen in een driehoek met stippen aan één zijde. Drie is dus het tweede driehoeksgetal. De eerste zeven driehoeksgetallen zijn de niet-negatieve gehele getallen 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21.[1] In het plaatje worden deze (behalve 0) weergegeven.

DefinitieBewerken

Het  -de driehoeksgetal   is de som van de getallen 1 tot en met  . In formule:

 

Met behulp van de somformule van Gauss volgt:

 

Dit is hetzelfde als de binomiaalcoëfficiënt

 

ToelichtingBewerken

De binomiaalcoëfficiënt   is het aantal combinaties van 2 elementen uit een totaal van  . Die combinaties kunnen als volgt onderverdeeld worden:

  • Element 1 van de   elementen wordt gekozen. Voor het tweede element zijn er nog   mogelijkheden.
  • Element 1 wordt niet gekozen, maar wel element 2. In dat geval zijn er voor het tweede element nog   mogelijkheden.
  • De elementen 1 en 2 worden niet gekozen, maar wel element 3. Dan zijn er voor het tweede element nog   mogelijkheden.
  • Zo voortgaande is te zien dat het totale aantal combinaties gelijk is aan
 

EigenschappenBewerken

De som van alle reciproque driehoeksgetallen is

 

Dit volgt uit de zogrenaamde telescoopreeks

 
  • Ieder natuurlijk getal, behalve 0, is te schrijven als som van ten hoogste drie driehoeksgetallen. Dit is bewezen door Gauss (zie bijvoorbeeld Beukers, 1999) in 1796. Deze eigenschap is een bijzonder geval van de veelhoeksgetalstelling van Fermat.
  • Een getal   is een driehoeksgetal dan en slechts dan als   een kwadraat is.
  • Het  -de driehoeksgetal is gelijk aan het aantal kanten in een volledige graaf met   knopen.
  • De som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen is een kwadraat, bijvoorbeeld  .
  • De som van de eerste   driehoeksgetallen is gelijk aan het  -de tetraëdergetal.

Zie ookBewerken

  Zie de categorie Triangular numbers van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.