Driehoeksgetal

Een driehoeksgetal is een type veelhoeksgetal. Een driehoeksgetal kan grafisch worden weergegeven door een aantal stippen in een gelijkzijdige driehoek die gelijkmatig met die stippen wordt gevuld.

De eerste zes driehoeksgetallen

Aangezien drie stippen in de vorm van een gelijkzijdige driehoek kunnen worden gelegd, is het getal 3 dus een driehoeksgetal.

Het -de driehoeksgetal is het aantal stippen in een driehoek waarbij dan stippen op één zijde liggen. 3 is daarmee het tweede (echte) driehoeksgetal. Het eerste tiental driehoeksgetallen bestaat uit de niet-negatieve gehele getallen:[1]

In de figuur rechts worden de eerste zes weergegeven; de , het -de driehoeksgetal, telt daarbij niet mee.

DefinitieBewerken

Het  -de driehoeksgetal   is de som van de gehele getallen   tot en met  . In formule:

 

Met behulp van de somformule van Gauss volgt:

 

Dit is, geschreven als binomiaalcoëfficiënt:

 

ToelichtingBewerken

De binomiaalcoëfficiënt   is het aantal combinaties van 2 elementen uit een totaal van   elementen. Die combinaties kunnen als volgt onderverdeeld worden:

  • Element 1 van de   elementen wordt gekozen. Voor het tweede element resteren er dan nog   mogelijkheden.
  • Element 1 wordt niet gekozen, maar wel element 2. In dat geval zijn er voor het tweede element nog   mogelijkheden.
  • De elementen 1 en 2 worden niet gekozen, maar wel element 3. Dan zijn er voor het tweede element nog   mogelijkheden.
  • Zo voortgaande is te zien dat het totale aantal combinaties gelijk is aan:
 

EigenschappenBewerken

  • Het  -de driehoeksgetal is gelijk aan het aantal kanten in een volledige graaf met   knopen.
  • Een getal   is een driehoeksgetal dan en slechts dan als   een kwadraat is.
  • De som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen is een kwadraat, bijvoorbeeld  .
  • De som van de eerste   driehoeksgetallen is gelijk aan het  -de tetraëdergetal.
  • Ieder natuurlijk getal, behalve 0, is te schrijven als som van ten hoogste drie driehoeksgetallen. Dit is bewezen door Gauss in 1796.[2] Deze eigenschap is een bijzonder geval van de veelhoeksgetalstelling van Fermat.
  • De som van alle reciproque driehoeksgetallen is:
 
Dit volgt uit de telescoopsom:
 

Zie ookBewerken

  Zie de categorie Triangular numbers van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.