Stelling van Ostrowski

De stelling van Ostrowski is een stelling uit de getaltheorie die zegt dat elke niet-triviale absolute waarde op de rationale getallen equivalent is met ofwel de gebruikelijke absolute waarde of met een $p$-adische absolute waarde. De stelling werd in 1916 bewezen door Alexander Ostrowski.

Definitie

Voor elk priemgetal $p$ is de $p$-adische absolute waarde $|\,\cdot \,|_{p}$ gedefinieerd door:

$|\,x\,|_{p}={\begin{cases}0,&{\text{voor }}x=0\\\\p^{-n},&{\text{voor }}x=p^{n}{\frac {a}{b}}{\text{ met }}a,b,p{\text{ paarsgewijze onderling priem en }}n\in \mathbb {Z} \end{cases}}$

Equivalentie

Twee absolute waarden $|\,\cdot \,|$ en $|\,\cdot \,|'$ op een verzameling $V$ zijn equivalent, als voor alle $x\in V$ geldt:

$|\,x\,|<1\Longleftrightarrow |\,x\,|'<1$

Voor absolute waarden op een lichaam $K$ is deze eis gelijkwaardig met het bestaan van een reële constante $c>0$, zo, dat voor alle $x\in K$ geldt:

$|\,x\,|'=|\,x\,|^{c}$

Stelling

Elke niet-triviale absolute waarde $|\,\cdot \,|_{*}$ op de rationale getallen $\mathbb {Q}$ is equivalent met de absolute waarde $|\,\cdot \,|$ of met een $p$-adische absolute waarde $|\,\cdot \,|_{p}$.

Bewijs

Er worden twee gevallen onderscheiden:

1. Er is een $n\in \mathbb {N}$ met $|n|_{*}>1$
2. Voor alle $n\in \mathbb {N}$ is $|n|_{*}\leq 1$

Geval 1

Er is een $n\in \mathbb {N}$ met $|n|_{*}>1$. Nu is $|0|_{*}=0$ en $|1|_{*}^{2}=|1|_{*}$, zodat $|1|_{*}=1$, dus $n>1$.

Zij $b,k\in \mathbb {N}$ met $b>1$. Schrijf $b$-tallig:

$n^{k}=\sum _{i=0}^{m}c_{i}b^{i}\quad$ met $\quad c_{i}\in \{0,1,\ldots ,b-1\}\quad$ en $\quad c_{m}>0$

Dan is

$n^{k}\geq b^{m},\quad$ dus $\quad m\leq k{\frac {\log n}{\log b}}$

Maar

${\begin{aligned}|n|_{*}^{k}&=|n^{k}|_{*}\leq \sum _{i=0}^{m}|c_{i}b^{i}|_{*}\\&\leq (m+1)\max _{i}\{|c_{i}b^{i}|_{*}\}=(m+1)\max _{i}\{|c_{i}|_{*}|b|_{*}^{i}\}\\&\leq (m+1)\max _{i}\{|c_{i}|_{*}\}\,\max\{|b|_{*}^{m},1\}\end{aligned}}$

Nu is

$\max _{i}\{|c_{i}|_{*}\}\leq \max _{k=0}^{b-1}\{|k|_{*}\}\leq b\quad$ en $\quad |b^{i}|_{*}=|b|_{*}^{i}\leq \max\{|b|_{*}^{m},1\}$

dus

$|n|_{*}^{k}\leq b\,(m+1)\max\{|b|_{*}^{m},1\}\leq b(k\log _{b}n+1)\max\{|b|_{*}^{k\log _{b}n},1\}$

Dus

$|n|_{*}\leq {\big (}b(k\log _{b}n+1){\big )}^{\frac {1}{k}}\max\{|b|_{*}^{\log _{b}n},1\}$

Als $k\to \infty$, volgt

${\big (}b(k\log _{b}n+1){\big )}^{\frac {1}{k}}\to 1$

zodat

$|n|_{*}\leq \max\{|b|_{*}^{\log _{b}n},1\}$

Samen met $|n|_{*}>1$ blijkt dus dat $|b|_{*}>1$ voor elke keuze van $b>1$ (anders zou $|b|_{*}^{\log _{b}n}\leq 1$, zodat $|n|_{*}\leq 1$). Bijgevolg moet voor iedere $a>1$ gelden $|a|_{*}>1$.

Dus is voor alle $b,a\in \mathbb {N}$:

$|a|_{*}\leq |b|_{*}^{\frac {\log a}{\log b}}$

of herschreven

${\frac {\log |a|_{*}}{\log a}}\leq {\frac {\log |b|_{*}}{\log b}}$

Uit symmetrie volgt dan gelijkheid.

Omdat $b,a\in \mathbb {N}$ willekeurig zijn, is er een constante $c\in \mathbb {R} _{+}$ waarvoor

$\log |k|_{*}=c\log k$

d.w.z.

$|k|_{*}=k^{c}=|k|^{c}$

voor alle $k\in \mathbb {N} ,k>1$.

Dus is $|x|_{*}=|x|^{c}$ ook voor alle $x\in \mathbb {Q}$, waarmee de equivalentie is aangetoond.

Geval 2

Voor alle $n\in \mathbb {N}$ is $|n|_{*}\leq 1$. Maar dan is er een priemgetal $p$, en dat is het enige, waarvoor $|p|_{*}<1$. Stel namelijk dat voor het priemgetal $q\neq p$ ook geldt dat $|q|_{*}<1$.

Kies dan $w\in \mathbb {N}$ zo, dat $|p|_{*}^{w}<{\tfrac {1}{2}}$ en $|q|_{*}^{w}<{\tfrac {1}{2}}$. Volgens het algoritme van Euclides zijn er gehele getallen $a,b$ waarvoor $ap^{w}+bq^{w}=1$. Dan volgt

$1=|1|_{*}\leq |a|_{*}|p|_{*}^{w}+|b|_{*}|q|_{*}^{w}<{\frac {|a|_{*}+|b|_{*}}{2}}\leq 1$

wat een tegenspraak inhoudt.

Elke $n\in \mathbb {N}$ is het product van priemgetallen, dus:

$|n|_{*}=\left|\prod _{i<r}p_{i}^{m_{i}}\right|_{*}=\prod _{i<r}|p_{i}|_{*}^{m_{i}}=|p|_{*}^{m}=(p^{-m})^{c}=|n|_{p}^{c}$,

met $c=-{\frac {\log |p|_{*}}{\log p}}$ en $m=0,|n|_{*}=1$ als $n$ niet deelbaar is door $p$.

Maar dan is ook voor alle $x\in \mathbb {Q}$

$|x|_{*}=|x|_{p}^{c}$

dus is $|\,\cdot \,|_{*}$ equivalent met een $p$-adische absolute waarde.