Ongelijkheid (wiskunde)

Een ongelijkheid is in de wiskunde een relatie die iets zegt over de relatieve grootte van twee wiskundige objecten. Ongelijkheden berusten op de relatie "kleiner dan", genoteerd als "<", die aangeeft dat wat links van het ongelijkteken staat kleiner is dan wat rechts staat.

Definitie en notatieBewerken

Van twee reële getallen   en   zegt men dat   kleiner is dan  , genoteerd als   als er een positief getal   is, waarvoor  .

  • In plaats van   schrijft men ook  , en zegt:   is groter dan  .
  • Voor   of   schrijft men kort:  , en men zegt:   is kleiner dan of gelijk aan   of kort   is kleiner of gelijk  
  • Voor   of   schrijft men kort:  , en men zegt:   is groter dan of gelijk aan   of kort   is groter of gelijk  

De relaties   en   worden strikte ongelijkheden genoemd, dit in tegenstelling tot   en  .

Hoewel zonder exacte betekenis schrijft men wel:

  •   met de betekenis:   is veel kleiner dan  .
  •   met de betekenis:   is veel groter dan  .

GebruikBewerken

Voor alle reële getallen   en   is voldaan aan precies een van volgende drie mogelijkheden:

  •  
  •  
  •  

Om ongelijkheden in een makkelijker berekenbare vorm om te zetten, bestaan voor de basisbewerkingen enkele rekenregels:

  • Optelling en aftrekking van reële getallen   en  :
    • Als  , geldt:   en  .
  • Vermenigvuldiging en deling van reële getallen   en   met  :
    • Als   is en  , geldt:   en  .
    • Als   is en  , geldt:   en  .
  • Eenvoudig te onthouden is dat de ongelijkheid omgedraaid wordt als:
    • Men beide leden vermenigvuldigt met of deelt door een negatief getal.
    • Men beide leden omkeert: bijvoorbeeld  

Ongelijkheden worden theoretisch vaak gebruikt om een boven- of ondergrens te bepalen voor grootheden, die niet eenvoudig berekenbaar zijn. Belangrijkste voorbeelden uit de maattheorie zijn de driehoeksongelijkheid, ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, en ongelijkheid van Hölder, in de statistiek de ongelijkheden van Markov, Chebyshev en Cramér-Rao. In de praktijk komen ongelijkheden vrijwel altijd voor om voorwaarden op te leggen aan bepaalde onbekenden bij het oplossen van een stelsel van vergelijkingen.

Zie ookBewerken