Omzettertheorie toegepast in de elektro-akoestiek
Omzettertheorie toegepast in de elektro-akoestiek
Inleiding
bewerkenDit artikel geeft een overzicht van de vier meest voorkomende omzetters, ook wel transducers genoemd, die hun toepassing vinden in de elektro-akoestiek. Dit hoeft niet in te houden dat de beschreven theorie alleen geschikt is voor deze tak in de techniek. In principe is deze theorie toepasbaar op elk gebied waar omzetters gebruikt worden.
Verder is een apart deel gewijd aan de analogie van de gebruikte systemen namelijk het elektrische, mechanische en akoestische systeem. Deze analogieën zijn uit te breiden naar andere systemen, zoals de technische en rotatorische systemen. Echter dit valt buiten het bestek van het artikel.
Daaropvolgend in ander apart deel is de beschreven theorie toegepast op twee populaire producten van de elektroakoestische techniek; de luidspreker en de microfoon, waarvan enkele types worden beschreven.
Omzetters
bewerkenOmzetters zijn middelen om energie van de ene verschijningsvorm om te zetten in energie van een andere verschijningsvorm.
De omzetters worden in dit artikel beschouwd als vierpolen. De karakteristieke eigenschappen van een vierpool worden bepaald door de vierpoolconstanten. Deze vormen tezamen de matrix van de vierpool. Er is beperkt tot een kettingschakeling, waarbij alleen maar de afhankelijkheid van de ingangsgrootheden en van de uitgangsgrootheden en van belang zijn, wordt alleen gerekend met de kettingmatrix en de constanten , , , enz.
Uit de vierpoolvergelijking volgt de matrix:
De matrix is dan:
Uitgeschreven is dit:
Bij het kettingschakelen van vierpolen worden de matrices van de vierpolen op de volgende wijzen met elkaar vermenigvuldigd:
Zodat bij kettingschakelen de vierpoolvergelijking ontstaat:
Deze rekenwijze vereenvoudigt in sterke mate het inzicht in het gedrag van een vierpool. Daarnaast is het een eenvoudig systeem om de ingangsimpedanties van circuits te bepalen. Er is van uitgegaan dat de beschreven omzetters een 100% rendement hebben.
De elektrodyamische omzetter
bewerkenBij een elektrodynamische omzetter (afkorting E-M) wordt elektrische energie omgezet in mechanische energie door beweging – ten gevolge van een elektrische stroom – van een geleider in een statisch magnetisch veld. Daarom wordt deze ook wel elektromagnetische omzetter genoemd. Deze omzetter is omkeerbaar. Voorbeeld van deze omkeerbaarheid zijn een elektromotor en een dynamo.
De E-M omzetter volgt de wet van Lorentz:
waarin:
de ontwikkelde kracht in newton (N) de fluxdichtheid in Vs / m2 de totale lengte van de geleider in meter (m) de stroom in ampere (A) de spanning in volt (V) de snelheid in m/s
Uit de bovenstaande betrekkingen wordt de vierpoolvergelijking gedestilleerd:
en in de matrix schrijfwijze:
De mechanische impedantie wordt gevonden uit het quotiënt van de kracht en snelheid . De eenheid is Nsm. Uit de lorentzwet ontstaan dan:
Op deze wijze is een directe betrekking tussen de elektrische en mechanische impedanties. Het verband tussen het elektrisch en het mechanisch vermogen is:
Magnetodynamische omzetter
bewerkenBij een magnetodynamische omzetter (afkorting M-M) wordt elektrische energie omgezet in mechanische energie door beweging van een anker ten gevolge van een wisselend magnetisch veld. Deze omzetter is omkeerbaar.
De betrekkingen zijn:
waarin:
de aangelegde spanning in volt (V) betekent 180 graden fasedraaiing de cirkelfrekwentie in Hz de magnetische veldsterkte in A/m de ontwikkelde kracht in newton (N) het aantal windingen van de spoel om de magneet de snelheid in m/s
De vierpoolvergelijking zijn:
in de matrix schrijfwijze:
Uit de bovenstaande betrekkingen volgt:
Op deze wijze is een mechanische impedantie getransformeerd naar een elektrische impedantie. De getransformeerde mechanisch circuitelementen behouden hun topologische plaats. Serie- en parallelschakelingen blijven gehandhaafd.
Piëzo-elektrische omzetter
bewerkenBij een piëzo-elektrische omzetter (afkorting P-M) wordt elektrische energie omgezet in mechanische energie door de deformatie (vervorming) van de kristalassen in het materiaal waardoor beweging ontstaat. Deze omzetter is omkeerbaar.
De betrekkingen zijn:
waarin:
de evenredigheidsfactor in VN = Asm de aangelegde spanning in volt (V) de ingaande stroom in (A) de ontwikkelde kracht in newton (N) de snelheid in m/s
De factor is te bepalen door aan een strip piëzomateriaal een bekende spanning te leggen en dan de kracht te meten waarmee het stripje wordt omgebogen of, andersom, een bekende kracht aan te wenden en dan op een ballistische galvanometer de lading te bepalen, die getransporteerd wordt.
De vierpoolvergelijkingen zijn:
in de matrix schrijfwijze:
Uit de bovenstaande betrekkingen volgt:
De mechanische impedantie wordt getransformeerd naar een elektrische impedantie en de circuitelementen behouden hun topologische plaats in het circuitdiagram dat wil zeggen serie- en parallelschakelingen blijven gehandhaafd.
Mechanoakoestische omzetter
bewerkenAls sluitstuk van de serie meest voorkomende omzetters wordt de mechanoakoestische omzetter beschreven, daar deze altijd de laatste omzetter vormt in een elektroakoestisch systeem. Voorbeelden van mechanoakoestische omzetters zijn membranen als trommelvellen en luidsprekerconussen.
De mechanoakoestische omzetter (afkorting M-A) zet mechanische energie in akoestische energie door het in trilling brengen van de omringende lucht (of ander medium). Deze omzetter is omkeerbaar.
De betrekkingen zijn:
waarin:
de volumesnelheid in m3s de geluidsdruk in N/m2 het oppervlak waarover getransformeerd wordt (bijvoorbeeld een membraan) in m2
De vierpoolvergelijkingen zijn:
in de matrix schrijfwijze:
Uit de bovenstaande betrekkingen volgt:
- ofwel in Ns/m5
De akoestische impedantie wordt via de omzetfactor in een mechanische impedantie getransformeerd en de circuitelementen behouden hun topologische plaats in het circuitdiagram.
Analogie elektrische, mechanische en akoestische systemen
bewerkenDe analogie tussen de systemen wordt gekarakteriseerd door de grootheid vermogen uitgedrukt in voltampère of newtonmeter per seconde en algemeen, in watt.
Definiëring wet van Ohm en vermogen
bewerkenDe spanning , de kracht en de druk kunnen analoog aan elkaar worden gesteld, daar zij een "kracht"-werking uitoefenen die respectievelijk een stroom , een snelheid en een volumesnelheid veroorzaken. Deze eenheden kunnen ook complex zijn.
In de elektrische leer is er de wet van Ohm:
reëel complex eenheid VA
Er kan ook een mechanische wet van Ohm verondersteld worden:
reëel complex eenheid Nsm
en een akoestische wet van Ohm:
reëel complex eenheid Nsm5
Voor het vermogen geldt:
systeem formule eenheid elektrisch VA of watt mechanisch Nsm of watt akoestisch Nsm of watt
Hiermee zijn deze elementaire zaken benoemd en kan de analogie worden vastgesteld tussen elektrische, mechanische en akoestische elementen, zoals bijvoorbeeld zelfinductie, massa en akoestische massa. En verder capaciteit, compliantie (de reciproke waarde van de stijfheid of de veerconstante) en akoestische compliantie.
Uitwerking analogie
bewerkenEen spanning veroorzaakt over een zelfinductie een aangroeiende stroom volgens:
- .
waarin de zelfinductie is (in henry), de stroom en staat voor de afgeleide naar de tijd.
Dit is analoog aan de aangroeiende snelheid, wanneer een kracht op een massa werkt (tweede wet van Newton):
- .
waarin de kracht is (in newton), de massa in kilogram, de snelheid in m/s en de eenparige versnelling.
En akoestisch, wanneer een druk aangewend wordt om een akoestische massa te versnellen:
waarin de volumesnelheid is in m3/s.
Daar , , en , , analoog gesteld zijn kunnen ook , , analoog worden gesteld.
Op dezelfde wijze wordt de analogie tussen de capaciteit , compliantie en de akoestische compliantie bepaald.
voor de elektrische condensator geldt:
mechanisch, wanneer een veer met compliantie gespannen is door een kracht (wet van Hooke):
en akoestisch, indien een druk op een oppervlak, waarachter zich een volume bevindt, een volumesnelheid veroorzaakt:
Impedantie analogieën
bewerkenAls de spanning, de kracht en de druk een harmonisch verlopend karakter hebben dan geldt:
de elektrische impedantie : en van : de mechanische impedantie : en van : de akoestische impedantie : en van :
Drie voorbeelden van analogieën
bewerkenSpoel en condensator
bewerken1. In de serieschakeling van een spoel en condensator is voor beide elementen de stroom hetzelfde en dan geldt:
- .
- .
Door te stellen geeft de differentiaal vergelijking als oplossing:
- .
Massa en veer
bewerkenIn de serieschakeling van een veer en massa , waarvoor voor beide elementen de snelheid dezelfde is, geldt:
- .
- .
Stel dan is de oplossing:
- .
Akoestische massa en veer (de Helmholzresonator)
bewerkenAkoestisch bezien is een serieschakeling van een compliantie en massa een Helmholtzresonator. De volumesnelheid is voor beide elementen dezelfde, dus geldt:
- .
- .
Stel dan is de oplossing:
- .
Overzicht analogieën en een rekenvoorbeeld
bewerkenDeze analogieën worden gebruikt bij het rekenen aan elektroakoestische omzetters.
Overzicht
bewerkenRekenvoorbeeld
bewerkenHet schema stelt een luidspreker in vacuüm voor. Het membraan (conus) van de luidspreker wordt akoestisch niet belast. Via de E-M omzetter wordt het mechanische circuit van het membraan met de elementen , en . De elementen staan in serie, omdat de snelheid voor de alle circuitelementen hetzelfde is. is de omzetfactor.
- Er geldt [Ω]
is hier de totale mechanische impedantie van het membraan. is de elektrische analogie van . Het getransformeerde circuit wordt na transformatie van ieder element.
- Voor de mechanische weerstand (verliezen) van het membraan geldt:
- [Ω]
- waarin de gereflecteerde elektrische waarde is van
- Voor de mechanische compliantie geldt:
- [Vs/A]
- waarin de gereflecteerde elektrische waarde is van de compliantie
- Door het gevolg van girerende effect van de omzetter wordt de compliantie gereflecteerd als een zelfinductie in plaats van een condensator.
- Voor de massa geldt:
- [As/V]
- waarin de gereflecteerde elektrische waarde is van de mechanische massa .
Omdat aan de ingang van het circuit de spanning voor alle elementen hetzelfde is, wordt de serieschakeling als een parallelschakeling weergegeven. Een van de eigenschappen van luidsprekers is dat in de impedantie karakteristiek een piek is te zien als gevolg van de eigen resonantie. Die opslingering is verklaarbaar met de analogie in het circuit.
Referenties
bewerkenSwarte, Peter (2010). Introductie tot de Elektro-akoestiek. Elektor, Susteren, pp. 200. ISBN 978-9-053-81256-3. Geraadpleegd op 13 januari 2018.