Tweede-ordesysteem

(Doorverwezen vanaf Massa-veer systeem)
Massaveerdemper.png

Een tweede-ordesysteem is een dynamisch systeem dat gemodelleerd kan worden als twee integrators met een aantal negatieve terugkoppelingen.

De toestand van een tweede-ordesysteem kan worden vastgelegd met twee getallen. Bij een mechanisch systeem zijn dit de plaats en de snelheid.

Een bekend voorbeeld van een tweede-ordesysteem is een harmonische oscillator (inclusief de gevallen van overdemping en kritische demping), een massa die op een veer rust. De ene toestand is de snelheid van de massa, de andere de uitrekking van de veer ten opzichte van de evenwichtstoestand. De negatieve terugkoppelingen zijn de veer voor de positie en de demper voor de snelheid.

Een ander voorbeeld is een RLC-kring.

DifferentiaalvergelijkingBewerken

De differentiaalvergelijking van een lineair tijdinvariant tweede-ordesysteem met invoer (excitatie)   en uitvoer (respons)   is van de vorm

 

Dit is een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten.

OvergangsgedragBewerken

Zonder demping is de homogene oplossing blijvende oscillatie. In andere gevallen beschrijft de homogene oplossing het overgangsgedrag van het systeem. Overgangsgedrag treedt op indien het systeem niet in rust is, wat tot gevolg heeft dat het spontaan de rusttoestand zal opzoeken, ook in de afwezigheid van externe excitaties. Daarnaast heeft ook het opstarten van een externe situatie overgangsgedrag tot gevolg. De duur van het overgangsgedrag is bepaald door de tijdconstante(n) van het systeem. Elke exponentiële functie in de homogene oplossing levert een tijdconstante  .

De oplossing van de homogene differentiaalvergelijking wordt verkregen door de karakteristieke vergelijking

 

op te lossen. Voor het bepalen van de oplossingen worden de volgende gevallen onderscheiden (reële oplossingen corresponderen met reële   en  ):

  • twee reële wortels   en  .
De algemene homogene oplossing is dan
 
Fysisch stemt dit overeen met een overgedempt systeem.
  • twee gelijke reële wortels  .
De algemene homogene oplossing is dan
 
Fysisch stemt dit overeen met een kritisch gedempt systeem.
De algemene homogene oplossing is dan
 
Fysisch stemt dit overeen met een ondergedempt systeem, een gedempte trilling.
In het geval van twee zuiver imaginaire complex toegevoegde wortels verdwijnen de exponentiële functies.

RegimeoplossingBewerken

De particuliere oplossing van de volledige differentiaalvergelijking levert het regimegedrag van het lineair systeem. Het is van dezelfde aard als de excitatie. Omdat een excitatie in de praktijk doorgaans een stapfunctie (Heaviside-functie) of een sinus is, kan de particuliere oplossing gevonden worden met de methode van de onbepaalde coëfficiënten. Bij een sinusvormige excitatie zal het regimegedrag een sinus zijn van dezelfde frequentie, maar met een aangepaste amplitude en fase zoals bepaald door de frequentierespons.

Mechanische voorbeeldenBewerken

Gedempt massa-veersysteem geëxciteerd door een krachtBewerken

 
Gedempt massa-veersysteem met krachtexcitatie

Het systeem bestaat uit een massa m, waarop rechtstreeks een kracht   uitgeoefend. De massa is door middel van een veer en een viskeuze demper verbonden aan een vaste wand. De differentiaalvergelijking is dan:

 

Gedempt massa-veersysteem geëxciteerd door een verplaatsingBewerken

 
Gedempt massa-veersysteem met verplaatsingsexcitatie

Het systeem bestaat uit een massa, verbonden aan een veer en een viskeuze demper. De excitatie geschiedt door de beweging   aan de andere zijde van de veer en de demper. De differentiaalvergelijking is dan:

 

Beweging van een schijfBewerken

 
Roterende schijf als gedempt massa-veersysteem

Een schijf met inertiemoment J wordt door middel van een veer en een viskeuze demper geëxciteerd door een verplaatsing   aan de andere zijde van de veer en de demper. Als respons van het systeem wordt de rotatiehoek   gekozen:

 

Elektrische voorbeeldenBewerken

Opladen van een condensator over een weerstand en een spoelBewerken

 
Kring waarin de condensator wordt opgeladen over een weerstand en een spoel

In een kring met een spanningsbron   worden een weerstand  , een spoel   en een condensator   in serie geplaatst. De differentiaalvergelijking die de lading   op de condensator beschrijft is:

 

Wiskundig is dit systeem volledig gelijkwaardig met het gedempt massa-veersysteem met een kracht als excitatie.

Passieve 2de-orde filtersBewerken

Dergelijke analoge filters worden efficiënter beschreven door hun systeemfunctie  . De standaard tweede-orde systeemfuncties worden gekenmerkt door de referentiefrequentie   en de Q-factor, een dimensieloze grootheid. De Q-factor geeft de versterking of verzwakking van een sinusexcitatie ter hoogte van de referentiefrequentie. Bij een banddoorlaatfilter is de referentiefrequentie de frequentie waar de doorlating maximaal is. Bij een bandstopfilter wordt de referentiefrequentie volledig onderdrukt. In beide gevallen is de Q-factor een maat voor de bandbreedte: hoe groter  , hoe smaller de bandbreedte. Naast deze twee parameters kan nog een algemene vesterkingsfactor   worden voorzien.

De standaard systeemfuncties worden dan:

  • Laagdoorlaatfilter:  
Dit systeem versterkt de amplitude van lage frequenties met een factor A en onderdrukt hoge frequenties. De versterking bij de referentiefrequentie   bedraagt  . Lage frequenties worden slechts weinig in fase vertraagd. Hoge frequenties met bijna −180°. Op de referentiefrequentie bedraagt de faseverschuiving −90°
  • Hoogdoorlaatfilter:  
Dit systeem versterkt de amplitude van hoge frequenties met een factor A en onderdrukt lage frequenties. De versterking bij de referentiefrequentie   bedraagt  . Lage frequenties bekomen een faseverschuiving van bijna +180°. Voor hoge frequenties gaat de faseverschuiving naar nul. Op de referentiefrequentie bedraagt de faseverschuiving +90°
  • Banddoorlaatfilter:  
Dit systeem onderdrukt lage en hoge frequenties. De doorlating op de referentiefrequentie bedraagt  . Het faseverloop daalt van +90° op lage frequentie, over 0° op de referentiefrequentie naar −90° op hoge frequentie.
  • Bandstopfilter:  
Dit filter onderdrukt de referentiefrequentie en versterkt zowel lage als hoge frequenties met een factor  . De fase daalt van 0° op lage frequentie om −90° te bereiken op de referentiefrequentie. Daar springt de fase naar +90° en neemt vervolgens weer af naar 0° op hoge frequentie.

Concrete realisaties voor deze vier types zijn mogelijk door gebruik te maken van één weerstand, één spoel en één condensator. De systeemfuncties zijn dan:

 
De vier passieve LRC-filters
  • Laagdoorlaatfilter:  
  • Hoogdoorlaatfilter:  
  • Banddoorlaatfilter:  
  • Bandstopfilter:  

Telkens kunnen de referentiefrequentie   en de Q-factor uit de algemene tweede-orde systeemfunctie geschreven worden in termen van de concrete componenten   en   door identificatie van de respectievelijke noemers van de systeemfuncties. Op deze manier kunnen concrete componentwaarden geselecteerd worden voor de gewenste referentiefrequentie   en Q-factor. In elk van deze vier concrete gevallen is de algemene versterkingsfactor   gelijk aan 1.

Zie ookBewerken

  Zie de categorie Mass-spring-dampers van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.