Matroïde

Een matroïde is een eindige verzameling met een 'onafhankelijkheidsstructuur' die bepaalt welke deelverzamelingen van elkaar onafhankelijk zijn.

Geschiedenis

Een belangrijk begrip uit de lineaire algebra is lineaire onafhankelijkheid. Intuïtief is een vector in een vectorruimte onafhankelijk van andere vectoren, als deze vector niet in het opspansel van deze andere vectoren ligt.

In de jaren 30 werd het idee van onafhankelijkheid gegeneraliseerd door Hassler Whitney. Hij bepaalde de belangrijkste eigenschappen van een verzameling onafhankelijke vectoren, en nam deze vervolgens als axioma’s. Hierdoor was hij in staat in een willekeurige (eindige) verzameling de deelverzamelingen vast te stellen, waarvan de elementen onafhankelijk van elkaar zijn. De complexe structuur van een vectorruimte had hij hiervoor niet meer nodig.

Zijn idee is vergelijkbaar met het idee achter een topologische ruimte. Deze generaliseren de open verzamelingen van de reële rechte naar willekeurige verzamelingen door de eigenschappen hiervan als axioma’s aan te nemen.

Definities

Een matroïde kan op verschillende manier worden gedefinieerd. Alle onderstaande definities zijn equivalent met elkaar.

Onafhankelijkheidsaxioma's

Een matroïde is een geordend paar $(E,{\mathcal {I}})$, met $E$ een eindige verzameling en ${\mathcal {I}}$ een collectie deelverzamelingen van $E$ die voldoet aan de volgende axioma's:

• $\emptyset \in {\mathcal {I}}$
• Als $J\in {\mathcal {I}}$ en $I\subset J$, is $I\in {\mathcal {I}}$.
• Als $I,J\in {\mathcal {I}}$ en $|I|<|J|$, bestaat er een $e\in J$ waarvoor geldt: $I\cup \{e\}\in {\mathcal {I}}$.

Een element van ${\mathcal {I}}$ wordt een onafhankelijke deelverzameling van $E$ genoemd.

Basisaxioma’s

Laat $E$ een eindige verzameling zijn. Een collectie ${\mathcal {B}}$ van deelverzamelingen van $E$ heet een verzameling van bases van E, als voldaan is aan:

• ${\mathcal {B}}$ is niet leeg.
• Als $B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}$, bestaat er voor alle $e\in B_{1}$ een $f\in B_{2}$, zodat $(B_{1}\setminus e)\cup f\in {\mathcal {B}}$.

Laat dan ${\mathcal {I}}$ bestaan uit alle deelverzamelingen die bevat zijn in een basis. Dan is $(E,{\mathcal {I}})$ een matroïde. De elementen van ${\mathcal {B}}$ zijn dan de maximaal onafhankelijke deelverzamelingen van $E$.

Circuitaxioma’s

Laat $E$ een eindige verzameling zijn. Een collectie ${\mathcal {C}}$ van deelverzamelingen van $E$ heet een verzameling van circuits van E, als voldaan is aan:

• $\emptyset \not \in {\mathcal {C}}$.
• Als $C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}$ en $C_{1}\subset C_{2}$, is $C_{1}=C_{2}$.
• Als $C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}$ en $C_{1}\neq C_{2}$, en $e\in C_{1}\cap C_{2}$, dan bestaat er een $C_{3}\in {\mathcal {C}}$, zodat $C_{3}\subset (C_{1}\cup C_{2})\setminus e$.

Laat dan ${\mathcal {I}}$ bestaan uit alle deelverzamelingen die geen enkel circuit bevatten. Dan is $(E,{\mathcal {I}})$ een matroïde. De elementen van ${\mathcal {C}}$ zijn dan de minimaal afhankelijke deelverzamelingen van $E$.

Voorbeelden

Lineaire matroïden

Zoals eerder vermeld, zijn matroïden ontwikkeld om lineaire onafhankelijkheid te veralgemenen. Het meest voor de hand liggende voorbeeld van een matroïde is daarom terug te vinden in de lineaire algebra.

Laat $E$ een eindige verzameling vectoren zijn uit een vectorruimte over een willekeurig lichaam. Laat dan ${\mathcal {I}}$ bestaan uit alle deelverzamelingen van $E$ die een onafhankelijk stel vectoren vormen. Dan is $(E,{\mathcal {I}})$ een lineaire matroïde.

Matroïden zijn dus uitermate geschikt om onafhankelijkheid in lineaire ruimtes over eindige lichamen te bestuderen.

Fano-matroïde

Beschouw de lineaire matroïde op $E=\mathbb {F} _{2}^{3}-0$. Deze matroïde wordt naar de Italiaanse wiskundige Gino Fano de Fano-matroïde genoemd.

Grafische matroïden

Laat $G=(V,E)$ een (eindige) graaf zijn, en laat ${\mathcal {C}}$ bestaan uit verzamelingen kanten, die samen een cykel vormen. Er kan aangetoond worden dat ${\mathcal {C}}$ voldoet aan de circuitaxioma’s. De matroïde die zo ontstaat noemen we een grafische matroïde.

Uniforme matroïden

Neem $E=\{1,2,\ldots ,n\}$, en laat ${\mathcal {I}}$ bestaan uit deelverzamelingen van $E$ met maximaal $k\leq n$ elementen. ${\mathcal {I}}$ voldoet duidelijk aan de onafhankelijkheidsaxioma’s, en dus is $(E,{\mathcal {I}})$ een matroïde, die we een uniforme matroïde noemen. Een uniforme matroïde wordt meestal genoteerd als $U_{k,n}$.