Lineair omhulsel

In de lineaire algebra is, als een verzameling vectoren binnen een vectorruimte is, het lineair omhulsel of lineair opspansel van de doorsnede van alle lineaire deelruimtes van die bevatten. Het is zelf ook een lineaire deelruimte. Het is de verzameling van alle eindige lineaire combinaties van de vectoren uit .

Men noteert het lineair omhulsel van de als afgeleid van de Engelse benaming linear span. De vectoren in worden de opspannende vectoren genoemd en men zegt ook dat het lineair omhulsel door deze vectoren wordt voortgebracht.

DefinitieBewerken

Het lineair omhulsel   van een deelverzameling   van een vectorruimte   is de kleinste deelruimte van   die   omvat, dus

 

Lineair omhulsel van een eindige verzameling vectorenBewerken

Zij   een vectorruimte over een lichaam (in België: veld)  , dan is het lineair omhulsel van de vectoren   in  , de deelruimte

 

Men noteert het lineair omhulsel van de vectoren   als   Andere notaties zijn   en  

Lineair omhulsel van een oneindige verzameling vectorenBewerken

Zij   een vectorruimte over een lichaam (in België: veld)  , dan is het lineair omhulsel van  , de deelruimte die bestaat uit de eindige lineaire combinaties van deze vectoren.

 

Bijzondere gevallenBewerken

In het bijzonder geldt:

  •  
  • een basis van een vectorruimte heeft als lineair omhulsel de vectorruimte zelf

Verdere eigenschappenBewerken

Als een stelsel vectoren   onafhankelijk is, dan is   een basis van de voortgebrachte deelruimte  

Meer algemeen geldt: als de vectorruimte   wordt voortgebracht door het stelsel   dan bevat   een basis van  

De ruimte   blijft het lineair omhulsel van  

  • als men aan   een vector uit   toevoegt.
  • als men een vector uit  , welke een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit  , verplaatst naar   \  .
  • als men in   een vector vermenigvuldigt met een van nul verschillend getal (scalair).
  • als men bij een vector uit  , een andere vector uit   optelt.