Martínez is afkomstig uit de jeugdopleiding van Racing Club. Hij debuteerde op 1 november 2015 in de Argentijnse Primera División, tegen Crucero del Norte. Hij viel na 80 minuten in voor Diego Milito, die tweemaal scoorde.[3] Martínez speelde op 17 februari 2016 zijn tweede competitieduel, tegen Newell's Old Boys. Hij kwam in het veld als vervanger van Lisandro López.[4] Hij groeide in het seizoen 2016/17 uit tot basisspeler bij de Argentijnse ploeg, waarvoor hij dat jaar negen keer scoorde. Martínez maakte in 2018 zowel zijn eerste als zijn tweede hattrick. De eerste produceerde hij op 5 februari, in een met 4–0 gewonnen competitiewedstrijd tegen Huracán, de tweede 23 dagen later, in een met 4–2 gewonnen duel in de CONMEBOL Libertadores tegen Cruzeiro.
Martínez verruilde Racing Club in juli 2018 voor Internazionale. Hier moest hij voor een plek in de basis gaan concurreren met onder anderen Mauro Icardi, Matteo Politano en Ivan Perišić, met gemengde resultaten. Martínez werd in 2019/20 wel een onbetwiste basisspeler bij Internazionale en ging dat jaar een spitsenduo vormen met Romelu Lukaku. In het seizoen 2020/21 scoorde hij zeventien doelpunten in de Serie A en werd hij kampioen van Italië. Het seizoen erop, met het vertrek van Lukaku, scoorde hij zelfs 21 keer in de competitie. Alleen Ciro Immobile (Lazio Roma, 27) en Dušan Vlahović (Fiorentina/Juventus, 24), scoorde dat seizoen meer goals. Bovendien won Inter dat seizoen de Coppa Italia.
Martínez debuteerde op 27 maart 2018 in het Argentijns voetbalelftal, tijdens een met 6–1 verloren oefeninterland in en tegen Spanje. Hij kwam in de 59e minuut in het veld als vervanger van Gonzalo Higuaín. Hij maakte op 11 oktober 2018 zijn eerste doelpunt voor het Argentijns elftal, de 1–0 tijdens een met 4–0 gewonnen oefeninterland, thuis tegen Irak. Martínez maakte op 11 september 2019 voor het eerst een hattrick in het shirt van het nationale team. Hij zorgde toen voor zowel de 1–0, de 2–0 als de 4–0 tijdens een met diezelfde cijfers gewonnen oefeninterland tegen Mexico.