Inwendig punt

Een inwendig punt is een punt binnen een ruimte, dat niet op de grens met een andere ruimte ligt. Anders gezegd is een inwendig punt een punt dat geheel door andere punten van die ruimte is omgeven. Het deel van de ruimte waarin alle punten geheel door andere punten zijn omgeven heet het inwendige van die ruimte.

Het punt $x$ is een inwendig punt binnen $S$, aangezien $x$ binnen $S$ ligt. Het punt $y$ ligt op de rand van $S$.

Definitie

Euclidische ruimte

Het punt $x$ in een deelverzameling $S$ van een euclidische ruimte heet inwendig punt van $S$, als er een open bol bestaat met $x$ als middelpunt die helemaal in $S$ ligt.

Metrische ruimte

Als $X$ een metrische ruimte is met metriek $d$, dan is $x$ een inwendig punt van $S$ als er een bol om $x$ bestaat met straal $r>0$ die helemaal in $A$ ligt.

Topologische ruimte

Deze definitie geldt ook in een topologische ruimte, maar daarin wordt de bol door een omgeving vervangen. Laat $S$ een deelverzameling van een topologische ruimte $X$ zijn. Dan heet $x$ inwendig punt van $S$, als er een omgeving van $x$ bestaat, die in $S$ ligt. Merk op dat deze definitie niet van de vraag afhangt of het een vereiste is dat omgevingen al of niet open zijn. Als het niet is vereist dat omgevingen open zijn, is $S$ wanneer $x$ in $S$ ligt altijd een omgeving van $x$.

Dit betekent dat een inwendig punt van $A$ zich niet op de rand van $A$ kan bevinden. Als $A$ een open verzameling is, is ieder element van $A$ een inwendig punt.