Idempotente matrix

In de algebra is een idempotente matrix een matrix, die met zichzelf vermenigvuldigd weer zichzelf is. Een matrix is dus idempotent, wanneer . Het is hiervoor noodzakelijk dat een vierkante matrix is.

en zijn een voorbeeld van een en een idempotente matrix.

2 × 2 VoorbeeldBewerken

Als een matrix   idempotent is, dan

  •  ,
  •   of  ,
  •   of  ,
  •  .

Het is dus voor iedere   idempotente matrix zo, dat het een diagonaalmatrix is of dat het spoor ervan gelijk is aan 1. Voor iedere idempotente diagonaalmatrix zijn   en   ofwel 1 of 0.[1]

Als   is de matrix   idempotent als  .   voldoet dus aan de vergelijking

  of  .

Dit is een cirkel met centrum   en straal 1/2. Of, in termen van een hoek  ,

  is idempotent, maar lineair afhankelijk.

  is geen noodzakelijke voorwaarde: iedere matrix

  met   is idempotent, maar ook weer afhankelijk.

EigenschappenBewerken

Met uitzondering van de eenheidsmatrix is een idempotente matrix singulier. Veronderstel dat   regulier is.   voorvermenigvuldigd met   geeft  .

Het verschil tussen een eenheidsmatrix en een idempotente matrix is weer een idempotente matrix, volgens  .

Voor een idempotente matrix   geldt voor alle machten   dat  .

Een idempotente matrix is altijd diagonaliseerbaar en de eigenwaardes ervan zijn ofwel 0 of 1. Het spoor van een idempotente matrix is gelijk aan de rang van de matrix.