Middelwaardestelling

De middelwaardestelling is een stelling uit de analyse, die haar bekendheid dankt aan de toepassing als hulpstelling. Er kunnen bepaalde ongelijkheden mee worden bewezen. De stelling kent verschillende vormen, maar de bekendste is die van Lagrange. De stelling wordt met behulp van de stelling van Rolle bewezen en is sterk aan de tussenwaardestelling gerelateerd. De middelwaardestelling wordt soms de tussenwaardestelling voor afgeleiden genoemd.

Middelwaardestelling

De stelling, die in de nevenstaande figuur aanschouwelijk gemaakt wordt, houdt in dat van een functie die op differentieerbaar is, de grafiek op minstens één plaats dezelfde helling moet hebben als de verbindingslijn van de punten en , dat wil zeggen de afgeleide is ergens gelijk aan de 'middelwaarde', de verandering van op dat interval.

StellingBewerken

Als de functie   voor   voldoet aan de voorwaarden:

  1.   is continu op het gesloten interval  ,
  2.   is differentieerbaar op het open interval  

dan is er een   tussen   en   waarvoor geldt:

 

De stelling van Rolle is een speciaal geval van de middelwaardestelling voor  .

BewijsBewerken

Het bewijs steunt op de stelling van Rolle. Definieer de functie   door:

 ,

dan voldoet   aan de voorwaarden van de stelling van Rolle. Er bestaat dus een   tussen   en  , waarvoor geldt:

 

Hieruit volgt het gestelde.

Middelwaardestelling van CauchyBewerken

Er is een algemene vorm van de middelwaardestelling, die de middelwaardestelling van Cauchy wordt genoemd. Deze stelling zegt dat als   en de functies   en   voldoen aan de voorwaarden:

  1.   en   zijn continu op het gesloten interval  ,
  2.   en   zijn differentieerbaar op het open interval  
  3.   is verschillend van nul op het open interval  

er een getal   bestaat tussen   en   waarvoor geldt:

 

Uit de derde voorwaarde en de stelling van Rolle volgt dat  , want anders zou   voor een zekere   tussen   en  . Het bewijs verloopt verder analoog aan dat van de middelwaardestelling, nu met de functie

 

Merk op dat de stelling van Taylor, waarvan het bewijs eveneens berust op de stelling van Rolle met een slim gekozen functie, ook kan worden beschouwd als een generalisatie van de middelwaardestelling, en wel over   afgeleiden.