Hilberts Nullstellensatz

Hilberts Nullstellensatz, in het Nederlands: nulpuntenstelling van Hilbert, is een stelling uit de algebraïsche meetkunde, een tak van de wiskunde, die algebraïsche verzamelingen en idealen in veeltermringen relateert over algebraïsch gesloten velden. De stelling werd door David Hilbert bewezen.

Formulering

bewerken

Laat   een algebraïsch gesloten veld zijn, zoals de complexe getallen, en neem de ring  , dat is de veeltermring van polynomen met coëfficiënten in  , in beschouwing. Laat   een ideaal in deze ring zijn.

De algebraïsche variëteit  , die door dit ideaal wordt gedefinieerd, bestaat uit alle  -tupels   in   zodat   voor alle   in  .

Hilbert Nullstellensatz stelt dat als   een willekeurige polynoom in   is, dat verdwijnt op de variëteit  , dat wil zeggen   voor alle  , dat er dan een natuurlijk getal   bestaat, zodat   in   is.

Gevolg en bewijsvoering

bewerken

Een onmiddellijk gevolg is de zwakke Nullstellensatz:

Als   een ideaal is in  , dan kan   niet leeg zijn, dat wil zeggen dat er een gemeenschappelijk nulpunt bestaat voor alle polynomen in het ideaal.

Dit is ook de reden voor de naam van de stelling. De stelling kan gemakkelijk worden bewezen vanuit de 'zwakke' vorm door gebruik te maken van de Rabinowitsch-truc. De aanname dat   algebraïsch gesloten moet zijn is hier essentieel, de elementen van het echte ideaal   in   hebben geen gemeenschappelijke nul.

Met de notatie die gebruikelijk is in de algebraïsche meetkunde kan de Nullstellensatz voor elk ideaal   ook worden geformuleerd als

 

  staat hier voor radicaal van   en   is het ideaal van alle veeltermen die verdwijnen op de verzameling  .

Op deze manier ontstaat er een orde-omdraaiende bijectie tussen de algebraïsche variëteiten in   en de radicale idealen van  .