Hermitische matrix

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een hermitische matrix (ook wel zelf-geadjungeerde matrix genoemd) een vierkante matrix met complexe elementen die gelijk is aan zijn geadjungeerde matrix. Dat wil zeggen dat het element in de $i$-de rij en de $j$-de kolom gelijk is aan de complex geconjugeerde van het element in de $j$-de rij en de $i$-de kolom, dit voor alle indices $i$ en $j.$

Hermitische matrices zijn vernoemd naar Charles Hermite. Deze Franse wiskundige liet in 1855 zien dat matrices van deze vorm een eigenschap delen met reële symmetrische matrices; zij hebben altijd reële eigenwaarden. Dergelijke matrices spelen een belangrijke rol in de kwantummechanica.

Definitie

De $n\times n$-matrix $A$ met elementen in $\mathbb {C}$ noemt men hermitisch als zijn getransponeerde matrix gelijk is aan zijn complex geconjugeerde matrix. In formulevorm

$A^{\text{T}}={\overline {A}}$

Voor de elementen van de matrix geldt dan voor alle indices $i$ en $j:$

$a_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}$.

Voorbeeld

De onderstaande matrix is een hermitische 2×2-matrix:

${\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}$

De diagonale elementen moeten reëel zijn, omdat zij hun eigen complex geconjugeerde moeten zijn.

Bekende families van hermitische matrices zijn Pauli-matrices, Gell-Mann-matrices en hun veralgemeningen. In de theoretische natuurkunde worden dergelijke Hermitische matrices vaak vermenigvuldigd met imaginaire coëfficiënten Dit resulteert in scheef-Hermitische matrices.

Eigenschappen

• Voor een hermitische matrix $A$ geldt voor een willekeurig inproduct $(\ ,\ )$: $(x,Ay)=(Ax,y)$.
  Daaruit ziet men ook direct dat de eigenwaarden van een hermitische matrix $A$ reëel zijn, immers als $\lambda$ een eigenwaarde van $A$ is, bij de eigenvector $x\neq 0$, geldt:

$\lambda (x,x)=(x,\lambda x)=(x,Ax)=(Ax,x)=(\lambda x,x)={\bar {\lambda }}(x,x)$, zodat ${\bar {\lambda }}=\lambda$, dus reëel.

• Uit voorgaande eigenschap volgt dat de determinant van een hermitische matrix reëel is.
• Een reële hermitische matrix is een symmetrische matrix

Toepassing in de natuurkunde

In de natuurkunde spelen hermitische matrices een belangrijke rol, omdat deze altijd reële eigenwaarden hebben. Een operator met reële eigenwaarden correspondeert met een meetbare grootheid in de kwantummechanica.

Zo wordt bijvoorbeeld in de kwantummechanica de impuls $p$ voorgesteld door de operator:

$p_{\text{op}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial {x}}}$

Deze is hermitisch, want:

$\langle \psi _{1}|p_{\text{op}}\psi _{2}\rangle =\langle p_{\text{op}}\psi _{1}|\psi _{2}\rangle$

Immers:

$\langle \psi _{1}|p_{\text{op}}\psi _{2}\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }\psi _{1}^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial x}}\,{\rm {d}}x=$

$=\psi _{1}^{*}\psi _{2}|_{-\infty }^{+\infty }-\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}(\psi _{1}^{*}\psi _{2})\,{\rm {d}}x=$

$=\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{*}(\psi _{1}^{*}\psi _{2})\,{\rm {d}}x=\langle p_{\text{op}}\psi _{1}|\psi _{2}\rangle$

Door de randvoorwaarde $\psi _{1,2}(-\infty )=\psi _{1,2}(\infty )=0$ valt de stokterm weg.

Literatuur

• David J. Griffiths, Introduction to quantum mechanics, ISBN 0131244051