Gell-Mann-matrices

De Gell-Mann-matrices, genoemd naar Murray Gell-Mann, zijn een mogelijke weergave van de infinitesimale generatoren van de speciale unitaire groep genaamd SU(3).

Deze groep (in feite een reële lie-algebra) heeft een dimensie van acht, en heeft daarom een verzameling met acht lineair onafhankelijke generatoren , die voldoen aan de commutatierelaties

De structuurconstanten zijn volledig antisymmetrisch in de drie indices en zij hebben de waarden

Elke verzameling van hermitische matrices, die aan deze relaties gehoorzamen zijn toegestaan. Een bijzondere keuze van matrices wordt een groepsrepresentatie genoemd, omdat elk element van SU (3) in de vorm geschreven kan worden, waar reële getallen zijn en een som over de index geïmpliceerd wordt. Gegevens een weergave, kan een andere worden verkregen door een willekeurige unitaire transformatie, aangezien dat de commutator ongewijzigd laat.

Een belangrijke weergave omvat 3×3-matrices, omdat de groepselementen dan op complexe vectoren met 3 inwerken, dat wil zeggen op de fundamentele weergave van de groep. Een bijzondere keuze van deze weergave is

en . Deze matrices zijn spoorloos, hermitisch en voldoen aan de extra relatie . Deze eigenschappen werden gekozen door Gell-Mann, omdat zij dan de pauli-matrices generaliseren.

In deze voorstelling is vormen de lineaire combinaties (met reële coëfficiënten) van de twee matrices en die met elkaar commuteren, de cartan-deelalgebra. Er zijn 3 onafhankelijke SU(2) deelgroepen: , en , waarin en lineaire combinaties van en zijn.

Deze matrices vormen een nuttige weergave voor berekeningen in het quarkmodel en, in mindere mate, in de kwantumchromodynamica.

Zie ookBewerken

ReferentiesBewerken