Hoofdmenu openen

De formule van Cardano is de wiskundige formule voor de oplossing van de gereduceerde vorm van een derdegraadsvergelijking. De formule werd voor het eerst in 1545 vermeld in het boek Ars magna van Girolamo Cardano (1501-1576), een Italiaanse arts, wiskundige, filosoof en publicist. De formule is ontdekt door Niccolò Tartaglia, en volgens Cardano zelfs nog vóór deze door Scipione del Ferro. Van de hand van Cardano is de methode om de algemene vorm van de derdegraadsvergelijking te reduceren tot het speciale geval waarop de formule voor de oplossing kan worden toegepast.

FormuleBewerken

Voor de gereduceerde derdegraadsvergelijking:

 

luidt de formule van Cardano voor de oplossing:

 

Herleiding algemene gevalBewerken

De algemene (genormeerde) vorm van de derdegraadsvergelijking:

 

kan geschreven worden als:

 ,

dus in de eerder genoemde gereduceerde vorm:

 

met:

 ,   en  


AfleidingBewerken

Zonder verlies van algemeenheid kan de gereduceerde vorm geschreven worden als:

 

Dan heeft de formule voor de oplossing de overzichtelijker vorm:

 

Hier is ook gemakkelijk te zien, dat:

 

dus:

 

De 3 oplossingen worden verkregen door de substitutie   onder de nevenvoorwaarde  . Dan volgt:

 

Voor   en   geldt dus   en  .

Volgens een formule van Viète zijn dan   en   oplossingen van de vergelijking:

 ,

dus:

   en   .

Met   en   voldoen ook de paren:

  en  ,

waarin

 

de beide derdemachts-eenheidswortels zijn.

Zie ookBewerken