Valuatiering

In de commutatieve algebra, een tak van de hogere wiskunde, is een valuatiering een bijzonder soort commutatieve ring met eenheidselement.

DefinitieBewerken

Een valuatiering is een integriteitsdomein waarvan het quotiëntenlichaam bestaat uit elementen van de ring en hun inversen.

Voorbeelden en tegenvoorbeeldenBewerken

  • Ieder lichaam is zijn eigen quotiëntenlichaam, dus een valuatiering.
  • De ring der gehele getallen is geen valuatiering. Het quotiëntenlichaam wordt gevormd door de rationale getallen, maar noch de breuk 2/3, noch haar inverse 3/2, is een geheel getal.
  • De ring  , van breuken waarvan de noemer een oneven getal is, is een valuatiering. Elke breuk kan namelijk vereenvoudigd worden tot een breuk met oneven teller óf oneven noemer.
  • Algemener, zij   een willekeurig priemgetal. De ring   bestaat uit de breuken waarvan de eenvoudigste noemer niet door   deelbaar is. Elke breuk is ofwel een dergelijk getal, ofwel het omgekeerde van een dergelijk getal.   is de lokalisatie van de ring der gehele getallen naar het priemideaal  .

EigenschappenBewerken

  • In een valuatiering geldt voor ieder paar idealen dat het ene in het andere vervat zit. De relatie "is een deel van" vormt dus een totale orde op de verzameling der idealen.
  • Hieruit volgt dat er maar één maximaal ideaal kan zijn: een valuatiering is een lokale ring. Het unieke maximale ideaal bestaat uit (nul en) de elementen waarvan het inverse (in het quotiëntenlichaam) niet tot de ring behoort. Bijvoorbeeld: in   bestaat het maximaal ideaal uit de breuken waarvan de teller deelbaar is door  .
  • Voor ieder integriteitsgebied   met een priemideaal   bestaat er een valuatiering   met hetzelfde quotiëntenlichaam als  , zodat   de doorsnede is van   met het maximaal ideaal van  . Zo ontstaat   uit de ring der gehele getallen en het priemideaal  .
  • Elke valuatiering is integraal gesloten.
  • In een valuatiering is ieder eindig voortgebracht ideaal een hoofdideaal.

WaardengroepBewerken

Zij   een valuatiering met quotiëntenlichaam  . Voor ieder willekeurig element   van   noteren we

 

De verzameling

 

is totaal geordend door de relatie "is een deel van". Ze vormt een abelse groep voor de vermenigvuldiging, en de groepsbewerking is compatibel met de orde.

Als   isomorf is met de groep der gehele getallen, dan noemt men   een discrete valuatiering. Voor een willekeurige valuatiering   zijn de volgende drie uitspraken gelijkwaardig:

  1.   is een discrete valuatiering.
  2.   is een Noetherse ring, dat wil zeggen ieder ideaal van   is eindig voortgebracht.
  3. V is een hoofdideaaldomein, dat wil zeggen ieder ideaal van   is een hoofdideaal.

VoorbeeldBewerken

  is een discrete valuatiering. Het isomorfisme tussen   en   beeldt de verzameling   af op de exponent waarmee   in de breuk   voorkomt (negatief als de eenvoudigste noemer van   deelbaar is door  ).