Stelling van Liouville

Volgens de stelling van Liouville is elke begrensde complexe analytische functie constant. Dit betekent: Als voor een holomorfe functie een reëel getal bestaat zo dat voor elke , dan is een constante functie.

De stelling van Liouville laat zien wat een sterke eigenschap holomorfe differentieerbaarheid voor een complexe functie is. De stelling kan onder andere worden gebruikt voor een kort elegant bewijs van de hoofdstelling van de algebra. De stelling is vernoemd naar de Franse wiskundige Joseph Liouville (1809-1882).

BewijsBewerken

De functie   kan worden ontwikkeld in een taylorreeks:

 

De coëfficiënten   zijn te vinden met een kringintegraal:

 

Hier is   de cirkel rond 0 met straal  . De absolute waarde van de coëfficiënten kunnen afgeschat worden door:

 

Omdat   begrensd is:   voor elke  , en   op  , volgt:

 

Aangezien dit geldt voor elke cirkel  , ongeacht de straal, volgt automatisch dat   gelijk moet zijn aan 0. De enige uitzondering is   ( ), zodat   de enige term is die overblijft uit de taylorreeks.

UitbreidingBewerken

Zij   een gehele functie waarvoor geldt dat er een   en   bestaan waarvoor geldt dat   als  , dan volgt daaruit op analoge manier als voorgaande stelling dat:

 

Zij nu   en laat men   dan is  . Waaruit volgt dat de taylorexpansie van   gelijk is aan:

 

Met andere woorden de functie   is een polynoom van de graad  .