Simplex (wiskunde)

Een simplex of n-simplex is in de wiskunde een $n$-dimensionaal analogon van de driehoek. Preciezer is een simplex het convexe omhulsel van $n+1$ onafhankelijke punten in een vectorruimte, dat wil zeggen dat geen $m+2$ van de punten in een $m$-dimensionale deelruimte liggen.

In het bijzonder is

• een 0-simplex een punt,
• een 1-simplex een lijnstuk,
• een 2-simplex een driehoek,
• een 3-simplex een viervlak,

in alle gevallen met hun inwendige.

Regelmatige simplex

Een simplex heet regelmatig als de afstand tussen twee van de $n+1$ punten telkens gelijk is. Als deze afstand telkens 1 is, is de inhoud van het regelmatig simplex

${\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}.$

De standaard simplex

De standaard 2-simplex in $\mathbb {R} ^{3}$.

Een $n$-simplex is een $n$-dimensionaal object. Het kan gelegen zijn in de $\mathbb {R} ^{n}$ maar ook in een willekeurige hogerdimensionale ruimte $\mathbb {R} ^{q}$ met $q>n$.

Een meer symmetrische vorm wordt verkregen als het simplex met de eenheidsvectoren als hoekpunten. Dit simplex wordt het standaard $n$-simplex genoemd en is de deelverzameling $\Delta ^{n}$ van $\mathbb {R} ^{n+1}$ gegeven door

$\Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\cdots ,t_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \Sigma _{i}{t_{i}}=1{\mbox{ en }}t_{i}\geq 0{\mbox{ voor alle }}i\right\}.$

Het simplex $\Delta ^{n}$ ligt in het affiene hypervlak dat verkregen wordt door de voorwaarde $t_{i}\geq 0$ in bovenstaande definitie weg te laten. Het standaard $n$-simplex is een regelmatige polytoop met standaard $(n-1)$-simplexen als zijden.

De hoekpunten van het standaard $n$-simplex zijn de punten

$e_{0}=(1,0,0,\ldots ,0,0)$

$e_{1}=(0,1,0,\ldots ,0,0)$

$\ldots$

$e_{n}=(0,0,0,\ldots ,0,1)$.

Er is een kanonieke afbeelding van de standaard $n$-simplex naar een willekeurige $n$-simplex met hoekpunten $(v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n})$ gegeven door

$(t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i}t_{i}v_{i}.$

De coëfficiënten $t_{i}$ worden de (genormaliseerde) barycentrische coördinaten van een punt in de $n$-simplex genoemd.

Zie ook

• Simplexmethode
• Nelder-Mead-methode