Oplosbare groep

heet een groep oplosbaar, als zij geconstrueerd kan worden met behulp van een eindige rij van uitbreidingen van abelse groepen

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, heet een groep oplosbaar, als zij geconstrueerd kan worden met behulp van een eindige rij uitbreidingen van abelse groepen.

DefinitieBewerken

Een groep   heet oplosbaar als   een rij normaaldelers heeft, waarvan de factorgroepen alle commutatief zijn, dat wil zeggen dat er ondergroepen

 

zijn, zodanig dat   normaaldeler is in   en de factorgroepen   commutatief zijn.

Equivalent kan gedefinieerd worden dat de groep   oplosbaar heet als de rij afgeleide groepen, de afnemende rij normaaldelers (  betekent "is normaaldeler van")

 

waarin iedere ondergroep de commutatorgroep van de vorige is, uiteindelijk de triviale groep {1} van   bereikt.

Deze twee definities zijn gelijkwaardig, aangezien voor elke groep   en iedere normaaldeler   van  , het quotiënt   dan en slechts dan commutatief is als   deel uitmaakt van  . De kleinste   zodanig dat   wordt de afgeleide lengte van de oplosbare groep   genoemd.

VoorbeeldenBewerken

Alle abelse groepen zijn oplosbaar; het quotiënt   zal altijd abels zijn als   abels is. Te bepalen dat een groep oplosbaar is, heeft dus alleen nut voor niet-commutatieve groepen.

Meer in het algemeen geldt dat alle nilpotente groepen oplosbaar zijn. In het bijzonder zijn de eindige  -groepen oplosbaar, aangezien alle eindige  -groepen nilpotent zijn.

Een klein voorbeeld van een oplosbare, niet-nilpotente groep is de symmetrische groep  . Ook de symmetrische groep   is oplosbaar. Aangezien de kleinste enkelvoudige niet-abelse groep   (de alternerende groep van graad 5) is, volgt hieruit dat elke groep met een orde van minder dan 60 oplosbaar is.