Normalisator

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde is een normalisator een speciale ondergroep $N_{G}(H)$ van een groep $G$ die hoort bij een ondergroep $H$. De normalisator $N_{G}(H)$ is de ondergroep van $G$ die bestaat uit de elementen van $G$ waarvoor linker- en rechternevenklasse van $H$ aan elkaar gelijk zijn. Duidelijk is dat de ondergroep $H$ ook een ondergroep is van z'n normalisator. Het blijkt dat $H$ zelfs normaaldeler is van de normalisator $N_{G}(H)$.

Definitie

Zij $G$ een groep en $H$ een ondergroep van $G$, dan is de normalisator $N_{G}(H)$ van $H$ in $G$ de verzameling van alle $g\in G$, waarvoor geldt dat:

$gH=Hg$,

of anders geformuleerd: voor alle $h\in H$ is

$ghg^{-1}\in H$

Met andere woorden de normalisator bestaat uit die $g\in G$ waarvoor geldt dat $H$ onder conjugatie met $g$ invariant is.

Er wordt dus niet geëist voor $h\in H$ dat $ghg^{-1}=h$, oftewel $gh=hg$ d.w.z. dat $g$ en $h$ commuteren. In veel gevallen zal dat ook niet waar zijn.

Eigenschappen

• De normalisator is een ondergroep van $G$.
• Een ondergroep $H$ is altijd een normaaldeler in haar normalisator $N_{G}(H)$. Preciezer geformuleerd: $N_{G}(H)$ is de grootste ondergroep van $G$ waarin $H$ een normaaldeler is.
• Een ondergroep is precies dan een normaaldeler in $G$ wanneer haar normalisator de gehele groep $G$ is.
• Men kan de normalisator ook als volgt introduceren:
  men laat de groep $G$ op de verzameling van zijn ondergroepen werken door conjugatie, dan is de stabilisator van een gegeven ondergroep voor deze werking precies de normalisator van deze ondergroep.

Voorbeeld

Zij $G$ de groep van inverteerbare $n\times n$-matrices (met reële coëfficiënten) voor een natuurlijk getal $n$. Zij $H$ verder de ondergroep van de diagonaalmatrices. Dan is de normalisator van $H$ in $G$ de groep van matrices waar in elke rij en in elke kolom precies één invoerwaarde ongelijk is aan nul. Het quotiënt $N_{G}(H)/H$ is isomorf met de symmetrische groep $S_{n}$.

Verwante begrippen

Vereist men dat $H$ per element invariant is onder de conjugatie met groepselementen, dan verkrijgt men het sterkere begrip van de centralisator $C_{G}(H)$. De centralisator is in de desbetreffende normalisator een normaaldeler.