Minimale polynoom (galoistheorie)

In de galoistheorie, een deelgebied van de wiskunde, is bij een gegeven getal de minimale polynoom de irreducibele polynoom van de laagste graad, waarvan een nulpunt is. Als is gegeven dat een algebraïsch getal is, is de minimale polynoom van uniek bepaald. Getallen die geen algebraïsch getal zijn, die geen nulpunt zijn van een polynoom, hebben dus ook geen minimale polynoom. De coëfficiënt voor de hoogste macht van de variabele van de minimale polynoom is 1, of anders: de hoogste macht van de variabele van de minimale polynoom heeft geen coëfficiënt.

Bestaan

bewerken

Veronderstel dat   de galois-uitbreiding is van een lichaam/veld   en stel  . Als   algebraïsch is over  , is de verzameling van alle polynomen

 

een niet-nul ideaal in  . Hieruit volgt dat deze verzameling wordt voortgebracht door een unieke monische polynoom  , dus met de coëfficiënt van de hoogste macht van   gelijk aan 1. Deze polynoom wordt de minimale polynoom van   over   genoemd en genoteerd met   of met  .[1]

Dit is erop gebaseerd, dat de polynoom van   over   de enige monische irreducibele polynoom in   is, waarvan   een nulpunt is.

Voorbeeld

bewerken

Zij   met  . Beschouw  . Deze polynoom is irreducibel want hij heeft, wegens de keuze van  , geen nulpunten in  . Hieruit volgt dat   de minimale polynoom is van   over  . In het bijzonder geldt dat   een lichaam/veld is.

Referenties

bewerken
  1. (en) Steven Roman, Field Theory, Volume 13, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag 2006, 32-33