Middelloodvlak

Het middelloodvlak (in een enkel geval ook wel asvlak genoemd) van een lijnstuk is in de driedimensionale euclidische meetkunde het vlak dat loodrecht staat op dat lijnstuk en door het midden ervan gaat.

Het middelloodvlak V van een lijnstuk AB. M is het midden van AB en P is een punt van V.

Elk lijnstuk heeft precies één middelloodvlak.

Eigenschappen

Elk punt van het middelloodvlak van een lijnstuk heeft gelijke afstanden tot de eindpunten van het lijnstuk. Op deze eigenschap wordt de definitie van middelloodvlak soms ook gebaseerd:

• Het middelloodvlak van een lijnstuk is de meetkundige plaats van de punten met gelijke afstanden tot de eindpunten van dat lijnstuk.

In het vlak dat bepaald wordt door het lijnstuk $AB$ en een punt $P$ van het middelloodvlak van dat lijnstuk, is de lijn $PM$ – waarbij $M$ het midden is van $AB$ – de middelloodlijn van $AB$.

Met vectoren

Voorbeeld. Zijn in een driedimensionaal standaard coördinatenstelsel gegeven de punten $A=(-1,2,2)$ en $B=(2,3,1)$, dan is een richtingsvector ${\bar {r}}$ van de drager van het lijnstuk $AB$:

${\bar {r}}=\left({\begin{matrix}3\\1\\-\,1\\\end{matrix}}\right)$

De vector ${\bar {r}}$ is dan een normaalvector van het middelloodvlak van $AB$. Hiermee is een vergelijking van het middelloodvlak:

$3x+y-z=m$

waarbij $m$ als volgt berekend wordt:

$m=3\,\cdot \,{\tfrac {1}{2}}+2{\tfrac {1}{2}}-1{\tfrac {1}{2}}=2{\tfrac {1}{2}}$

omdat de coördinaten van $M=({\tfrac {1}{2}},2{\tfrac {1}{2}},1{\tfrac {1}{2}})$ voldoen aan de vergelijking van het middelloodvlak.

Toepassingen

De as van (de omgeschreven cirkel van) driehoek ABC, gelegen in vlak D. De as staat loodrecht op D.

De as van een driehoek in de ruimtemeetkunde is de lijn door het middelpunt van de omgeschreven cirkel van die driehoek die loodrecht staat op het vlak waarin de driehoek gelegen is. De as is de gemeenschappelijke snijlijn van de drie middelloodvlakken van de zijden van de driehoek.

De as wordt ook wel de as van de cirkel genoemd.

Hieruit volgt dat een piramide waarvan het grondvlak een koordenveelhoek is, een omgeschreven bol heeft. Het snijpunt van de as van de veelhoek met het middelloodvlak van een opstaande ribbe van de piramide is het middelpunt van die bol.

Zie verder

• Vector, voor eigenschappen van vectoren

Noten en literatuur