Maxwell-Boltzmann-verdeling

De Maxwell-Boltzmann-verdeling of snelheidsverdelingswet van Maxwell-Boltzmann geeft de verdeling van de snelheden van gasmoleculen in een ideaal gas weer, wanneer de moleculen als puntvormig kunnen worden opgevat en zij volkomen elastisch botsen, zodat impuls en energie behouden blijven. Er vinden tevens geen simultane botsingen plaats van 3 of meer moleculen. De Maxwell-Boltzmann-verdeling vervult een centrale rol in toepassingen van de kinetische gastheorie.

De Maxwell-Bolzmann-verdeling voor stikstof (N2) bij drie verschillende temperaturen.

De dichtheid van de snelheidsverdeling van de deeltjes wordt gegeven door:

Daarin is

  • de massa van een deeltje van het gas (in SI-eenheden in kg)
  • de Boltzmannconstante (in SI-eenheden geldt J K−1)
  • de snelheid van een deeltje (in SI-eenheden in m s−1)
  • de absolute temperatuur van het gas (in SI-eenheden in K)

De verdeling is genoemd naar James Clerk Maxwell, die haar als eerste in 1866 afleidde, en Ludwig Boltzmann, die het bewijs verscherpt heeft. De verdeling is een bijzonder geval van de algemene Boltzmann-verdeling.

Afleiding

bewerken

In de stationaire toestand zijn de gasdeeltjes gelijkmatig verdeeld over het volume. De energie van een deeltje is zijn kinetische energie en omdat de totale energie   van het gas vastligt, is de snelheid van een deeltje begrensd. Alle mogelijke snelheden worden opgedeeld in een eindig aantal ( ) klassen, waarbinnen de snelheid weinig varieert.

Voorwaarden

bewerken

Elk van de   deeltjes valt wat zijn snelheid betreft binnen een van de   klassen. De aantallen in de klassen zijn  . Er geldt dus:

 

Ook moet het totaal van de energie van de deeltjes gelijk zijn aan de totale energie   van het gas, dus:

 

Waarschijnlijkheidsdichtheden van realisaties

bewerken

De verdeling van de deeltjes over de snelheidsklassen kan op meer manieren gerealiseerd worden. Zijn alle deeltjes in één klasse dan is er maar één manier, maar zijn ze op een na alle in één klasse dan zijn er al   mogelijke realisaties. Algemeen is het aantal realisaties bij de verdeling van   deeltjes over de   klassen:

 

Hoe meer realisaties een verdeling heeft, hoe waarschijnlijker het is dat het gas zich in een realisatie van die verdeling bevindt, uitgaande van het belangrijkste postulaat van de statistische mechanica, namelijk dat alle microtoestanden a priori gelijke waarschijnlijkheden hebben. De meest waarschijnlijke verdeling is dus de verdeling met het grootste aantal realisaties, zij het dat aan de genoemde voorwaarden moet zijn voldaan.

Optimalisatie

bewerken

Onder deze voorwaarden wordt de verdeling bepaald waarvoor het aantal realisaties   maximaal is. Om gemakkelijker te rekenen neemt men, in plaats van het aantal realisaties   zelf, de logaritme daarvan. Dit is toegestaan omdat de logaritme monotoon stijgend is. Met de multiplicatorenmethode van Lagrange wordt de vergelijking:

 

waarin   en   de multiplicatoren zijn.

Uitwerken levert:

 

Met behulp van de formule van Stirling krijgt men de benadering:

 ,

zodat voor de vergelijking resulteert:

 ,

met als oplossing:

 

Aangezien de energie in een klasse alleen de kinetische energie van een deeltje in die klasse is, geldt:

 

De snelheidsverdeling heeft dus de dichtheid:

 

Deze is alleen afhankelijk van de grootte van de snelheid.

Toestandsdichtheid

bewerken

Voor de toestandsdichtheid als functie van de snelheid geldt in drie dimensies:

 

De uitdrukkingen voor de hypothetische toestandsdichtheid in 2 dimensies en 1 dimensie zijn (voor de volledigheid):

 
 

De kanssdichtheid in   dimensies wordt gegeven door:

 

Kansdichtheid

bewerken

Omdat de integraal van de kansdichtheid in drie dimensies gelijk moet zijn aan 1, volgt voor de constante  

 

De dichtheid wordt dus:

 

Voor een ideaal gas geldt voor de verwachte kinetische energie van een deeltje:

 ,

dus

 

Dus is:

 

en de kanssdichtheid in drie dimensies:

 

Compacte representatie

bewerken
 
Kansdichtheid van de Maxwell-Boltzmann-verdeling
 
Verdelingsfunctie van de Maxwell-Boltzmann-verdeling

De kanssdichtheid van de Maxwell-Boltzmann-verdeling wordt in een compacte representatie gegeven door:

 

met:

 

De verdelingsfunctie is:

 

Verschillende snelheidsgemiddelden

bewerken

De meest waarschijnlijke (modale) snelheid ligt bij het maximum van   waarvoor geldt:

 

en wordt gegeven door:

 

RMS-snelheid

bewerken

De kwadratisch gemiddelde (rms) snelheid is:

 

en wordt gegeven door:

 

Gemiddelde snelheid

bewerken

De gemiddelde snelheid is:

 

en wordt gegeven door:

 

Verhoudingen

bewerken

De drie waarden verhouden zich onderling bij benadering als:

 

De gemiddelde snelheid ligt ongeveer midden tussen de rms-snelheid en de meest waarschijnlijke snelheid in.

bewerken
Zie de categorie Maxwell–Boltzmann distributions van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.