Extreme waarde

Zie artikel Voor het gelijknamige begrip uit de kansrekening, zie Extreme waarde (kansrekening)

In de analyse zijn extreme waarden van een functie de maxima en minima van die functie, dus functiewaarden waar, althans plaatselijk, geen andere functiewaarde boven- dan wel onderuitkomt. We onderscheiden hierin lokale (of relatieve) extrema en globale (of absolute) extrema.

De extremumstelling stelt dat een continue functie op een gesloten interval altijd een minimum en een maximum bereikt.

Formele beschrijvingBewerken

De functie   bereikt in het punt   een

  • (lokaal) maximum indien   voor alle   in een omgeving van  .
  • (lokaal) minimum indien   voor alle   in een omgeving van  .

Daarin is een omgeving van   een verzameling van de vorm:

 ,

voor enige  .

We spreken respectievelijk over een globaal maximum of minimum indien het gestelde geldt voor alle   uit het domein van  . Als bovenstaande ongelijkheden strikt zijn voor alle   ongelijk aan  , spreekt men over een uniek maximum cq. minimum.

Voorwaarden en eigenschappenBewerken

Differentieerbare functies in één veranderlijkeBewerken

Merk op dat dit geen voldoende voorwaarde is, maar wel een nodige. Opdat   een extremum bereikt in   moet de eerste afgeleide er 0 zijn. Omgekeerd is er echter niet noodzakelijk een extremum waar de afgeleide 0 wordt (zie voorbeeld 2 voor een tegenvoorbeeld). Punten waarin de afgeleide 0 is heten stationaire punten.
  • Om tot een voldoende voorwaarde te komen, kan men kijken naar het teken van de afgeleide. Als de afgeleide in   van teken wisselt is de functie in   extreem. Of de afgeleide van teken wisselt kan eventueel afgelezen worden aan de tweede afgeleide   als deze bestaat.
Veronderstel dat   twee keer differentieerbaar is en dat   We bekijken het teken van de tweede afgeleide
 , dan bereikt   een maximum in  .
 , dan bereikt   een minimum in  .
 , dan kan er geen conclusie getrokken worden.
  • We kunnen eveneens de aard van   waarvoor   bepalen met behulp van een tekenoverzicht van  
Onderstel dat   differentieerbaar is op een omgeving van   en dat   aan beide kanten van   een vast teken bezit.
Indien de tekens verschillend zijn bereikt   een extremum in  
  is een minimum indien het teken van   links van   negatief is en rechts van   positief.
  is een maximum indien het teken van   links van   positief is en rechts van   negatief.
Indien de tekens aan beide kanten van   gelijk zijn bereikt   geen extremum, we spreken dan van een buigpunt.
  • In een extremum van een functie   is de raaklijn aan de grafiek steeds horizontaal, dus evenwijdig met de  -as. Dit volgt rechtstreeks uit het feit dat de afgeleide er 0 moet zijn.

Functies van meerdere variabelenBewerken

We kunnen bovenstaande redenering uitbreiden naar functies van meerdere variabelen.
Hiervoor maken we gebruik van begrippen als partiële afgeleide en gradiënt.

  • Indien   differentieerbaar is in   en er een extremum bereikt, dan moet de gradiënt van   in   gelijk zijn aan 0. Dit is equivalent met het feit dat alle partiële afgeleiden van   in   ook 0 moeten zijn, dus als voor alle  
 
Kort:
 
Ook hier levert dit geen voldoende maar wel een nodige voorwaarde voor extrema. Indien er een extremum bereikt wordt is de gradiënt dus altijd 0, maar het omgekeerde geldt niet. Punten waarin de gradiënt 0 is zijn eveneens stationaire punten.
Opmerking

Voor de eenvoud beperken we ons in de volgende punten tot functies van twee variabelen.

  • Om tot een voldoende voorwaarde te komen bekijken we ook hier afgeleiden van de tweede orde. We voeren de volgende notaties in
  ,   ,   ,  
 , dan bereikt   een zadelpunt (geen extremum) in  
  en   (of  ), dan bereikt   een minimum in  
  en   (of  ), dan bereikt   een maximum in  
 : we kunnen niets besluiten.
  • In een extremum van een functie   is het raakvlak aan de grafiek steeds horizontaal, dus evenwijdig met het  -vlak. Dit volgt rechtstreeks uit het feit dat de gradiënt er 0 moet zijn.

VoorbeeldenBewerken

Voorbeeld 1
 
Grafiek van de functie
 

We beschouwen de functie (zie figuur rechts)

 

We berekenen de eerste afgeleide, stellen deze gelijk aan 0 en lossen op naar x om mogelijke extrema te zoeken

 

Om na te gaan of er in deze punten extrema bereikt worden bepalen we het teken van de tweede afgeleide voor beide punten

 
  maximum (blauw)
  minimum (rood)
Voorbeeld 2
 
Grafiek van de functie  

We beschouwen de functie (zie figuur rechts)

 

We berekenen de eerste afgeleide, stellen deze gelijk aan 0 en lossen op naar   om mogelijke extrema te zoeken

 

Om na te gaan of er in dit punt een extremum bereikt wordt bepalen we het teken van de tweede afgeleide in dit punt.

 
  geen extremum (maar een buigpunt) (groen)

Vermits voor elk extremum moet gelden dat de afgeleide 0 is kunnen we besluiten dat deze functie geen extrema heeft.

Voorbeeld 3
 
Grafiek van de functie
 

We beschouwen de functie (zie figuur rechts)

 

We berekenen de stationaire punten, dit zijn de punten waarvoor de gradiënt 0 is:

 

Oplossingen van dit stelsel zijn de punten  .

We berekenen δ met voorgenoemde formule voor elk van deze vier punten en vinden

In   en in   is  , dus geen extremum (oranje in de figuur)
In   is   en  , dus een minimum (rood in de figuur)
In   is   en  , dus een maximum (groen in de figuur)