De stelling van Jacobi is een wiskundige stelling in de euclidische meetkunde van de driehoek . De stelling is vernoemd naar Karl Friedrich Andreas Jacobi, een Duitse wiskundige die leefde van 1795 tot 1855 en die de stelling in 1825 publiceerde.
De ingekleurde hoeken bij A, B en C zijn gelijk, dus is XYZ een Jacobi-driehoek. N is het bijbehorende Jacobi-punt.
De stelling luidt dat als in het vlak van een driehoek ABC een driehoek XYZ voldoet aan de voorwaarden dat:
ϕ
A
:=
∠
C
A
Y
=
∠
Z
A
B
{\displaystyle \phi _{A}:=\angle CAY=\angle ZAB}
, dus
ϕ
A
>
0
{\displaystyle \phi _{A}>0}
als C en Z aan weerszijden van AB liggen,
ϕ
B
:=
∠
A
B
Z
=
∠
X
B
C
{\displaystyle \phi _{B}:=\angle ABZ=\angle XBC}
en
ϕ
C
:=
∠
B
C
X
=
∠
Y
C
A
{\displaystyle \phi _{C}:=\angle BCX=\angle YCA}
dan zijn ABC en XYZ perspectief . XYZ wordt een Jacobi-driehoek of isogonale driehoek genoemd, het perspectiviteitscentrum N punt van Jacobi.
De barycentrische coördinaten met Conway-driehoeknotatie
X
=
(
−
a
2
:
S
C
+
S
ϕ
C
:
S
B
+
S
ϕ
B
)
,
{\displaystyle X=\left(-a^{2}:S_{C}+S_{\phi _{C}}:S_{B}+S_{\phi _{B}}\right),}
Y
=
(
S
C
+
S
ϕ
C
:
−
b
2
:
S
A
+
S
ϕ
A
)
,
{\displaystyle Y=\left(S_{C}+S_{\phi _{C}}:-b^{2}:S_{A}+S_{\phi _{A}}\right),}
en
Z
=
(
S
B
+
S
ϕ
B
:
S
A
+
S
ϕ
A
:
−
c
2
)
.
{\displaystyle Z=\left(S_{B}+S_{\phi _{B}}:S_{A}+S_{\phi _{A}}:-c^{2}\right).}
Het bijbehorende punt van Jacobi heeft barycentrische coördinaten
(
1
S
A
+
S
ϕ
A
:
1
S
B
+
S
ϕ
B
:
1
S
C
+
S
ϕ
C
)
=
{\displaystyle \left({\frac {1}{S_{A}+S_{\phi _{A}}}}:{\frac {1}{S_{B}+S_{\phi _{B}}}}:{\frac {1}{S_{C}+S_{\phi _{C}}}}\right)=}
(
sin
(
α
)
sin
(
ϕ
A
)
sin
(
α
+
ϕ
A
)
:
sin
(
β
)
sin
(
ϕ
B
)
sin
(
β
+
ϕ
B
)
:
sin
(
γ
)
sin
(
ϕ
C
)
sin
(
γ
+
ϕ
C
)
)
{\displaystyle \left({\frac {\sin(\alpha )\sin(\phi _{A})}{\sin(\alpha +\phi _{A})}}:{\frac {\sin(\beta )\sin(\phi _{B})}{\sin(\beta +\phi _{B})}}:{\frac {\sin(\gamma )\sin(\phi _{C})}{\sin(\gamma +\phi _{C})}}\right)}
,
waarin α, β en γ de hoeken van driehoek ABC representeren.
Bekende voorbeelden van Jacobi-driehoeken zijn de driehoek van Morley , de spiegeldriehoek en de driehoeken van Kiepert . De ontaarde driehoek van punten waar oneindig verre rechte de hoogtelijnen snijden is ook een Jacobi-driehoek.
Als X2 Y2 Z2 ook een Jacobi-driehoek is, dan vormen de punten waar XX2 zijde BC snijdt, YY2 snijdt met AC en ZZ2 met AB een Ceva-driehoek .
De kruisingsdriehoek van een Jacobi-driehoek is weer een Jacobi-driehoek.