Kruisingsdriehoek

Gegeven twee driehoeken $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ en $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$. De kruisingsdriehoek van deze driehoeken is de driehoek met hoekpunten:

• $A_{3}$ het snijpunt van lijnen $B_{1}C_{2}$ en $B_{2}C_{1}$
• $B_{3}$ het snijpunt van lijnen $A_{1}C_{2}$ en $A_{2}C_{1}$
• $C_{3}$ het snijpunt van lijnen $A_{1}B_{2}$ en $A_{2}B_{1}$

Met deze nieuwe driehoek is iedere driehoek de kruisingsdriehoek van de andere twee. De drie driehoeken hebben hier index 1, 2 en 3. $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ wordt in de meeste gevallen als referentiedriehoek gezien en $\triangle A_{3}B_{3}C_{3}$ heet de kruisingsdriehoek van $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$.

Configuratie

Als $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ en $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$ perspectief zijn, zijn $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ en $\triangle A_{3}B_{3}C_{3}$ dat ook, evenals $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$ en $\triangle A_{3}B_{3}C_{3}$.

Voor de drie perspectiviteitscentra $D_{1}$ van $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$ en $\triangle A_{3}B_{3}C_{3}$, $D_{2}$ van $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ en $\triangle A_{3}B_{3}C_{3}$ en $D_{3}$ van $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ en $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$ geldt, dat ze op één lijn liggen. Deze lijn heet de perspectiviteitsas van de drie driehoeken.

Hierdoor vormen de viertallen punten $A_{i}B_{i}C_{i}D_{i}$ voor $i=1,2$ en $3$ de projectie op het platte vlak van een desmische configuratie. Om die reden worden, als $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ als referentiedriehoek wordt gezien, $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$ en $\triangle A_{3}B_{3}C_{3}$ desmisch gekoppeld genoemd.

Gekanteld

We kunnen de kruisingsdriehoeken kantelen: ook elk van de driehoeken $\triangle A_{1}A_{2}A_{3}$, $\triangle B_{1}B_{2}B_{3}$ en $\triangle C_{1}C_{2}C_{3}$ is kruisingsdriehoek van de andere twee. Bovendien als de driehoeken $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ en $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$ perspectief zijn, dan is elk paar van deze drie dat ook. Met de punten

• $A_{4}=A_{1}A_{2}\cap A_{2}A_{3}\cap A_{1}A_{3}$
• $B_{4}=B_{1}B_{2}\cap B_{2}B_{3}\cap B_{1}B_{3}$
• $C_{4}=C_{1}C_{2}\cap C_{2}C_{3}\cap C_{1}C_{3}$

op de perspectiviteitsas, krijgen we weer een desmische configuratie.

Bijzondere gevallen

• Als de hoekpunten van $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ en $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$ op een kegelsnede liggen, dan is volgens de stelling van Pascal hun kruisingsdriehoek ontaard.
• Is $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ ingeschreven in $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$, dan is hun kruisingsdriehoek $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$ zelf.

Voetnoten