Householdertransformatie

(Doorverwezen vanaf Householder-transformatie)

In de lineaire algebra is een householdertransformatie een reflectie (spiegeling) in de euclidische ruimte ten opzichte van een hypervlak dat door de oorsprong gaat. Het spiegelvlak wordt bepaald door een normaalvector u van lengte 1 (een eenheidsvector). De transformatie is een voorbeeld van een lineaire afbeelding. De transformatie is genoemd naar de Amerikaanse wiskundige Alston Scott Householder, die ze in 1958 invoerde.[1]

In matrixvorm kan ze uitgedrukt worden als:

,

waarin de eenheidsmatrix is. De matrix is symmetrisch en orthogonaal. Het product van met een vector komt overeen met de spiegeling van aan het hypervlak door de oorsprong loodrecht op .

MatrixdecompositieBewerken

 
Een householdertransformatie in het vlak: de vector   wordt getransformeerd naar   door spiegeling aan het hypervlak (hier een lijn) dat de hoek tussen   en   in tweeën deelt

Een eindig aantal householdertransformaties kan dienen om de QR-decompositie van een matrix te berekenen. Elk creëert nullen onder de diagonaal van een van de kolommen van de matrix; en transformeert haar zo tot een bovendriehoeksmatrix (analoog aan wat bij Gauss-eliminatie gebeurt).

Om de vector   met een spiegeling   zo te spiegelen dat de gespiegelde   op de x-as ligt, moet gespiegeld worden aan een hypervlak dat de hoek tussen   en   in twee gelijke delen verdeelt. De genormeerde normaalvector van dat hypervlak is:

 .

De gespiegelde vector is dan

 .

Het beeld van een vector onder een householdertransformatie kan men snel berekenen: men moet   aftrekken van  . Dit vereist de berekening van een inwendig product en het verschil van een vector met een veelvoud van een andere vector.

In de QR-decompositie wordt een matrix   herleid tot een bovendriehoeksmatrix   door opeenvolgende householdertransformaties  , met normaalvectoren   die orthogonaal zijn ten opzichte van elkaar, zodanig dat in de kolommen van   de elementen onder de diagonaal nul worden. Dan is

 

De orthogonale matrix   wordt bepaald door  ; dat wil zeggen:

 

De QR-decompositie kan men ook langs andere wegen bekomen, bijvoorbeeld via givensrotaties.