Givens-rotatie

Een givens-rotatie is in de numerieke lineaire algebra een rotatie in het vlak dat wordt gevormd door twee coördinaatassen. Givens-rotaties zijn genoemd naar de Amerikaanse wiskundige Wallace Givens (1910-1993).

MatrixvoorstellingBewerken

De givens-rotatie in wijzerzin van een vector   over een hoek van   radialen in het vlak van de  -de en  -de coördinaatassen in een  -dimensionele ruimte kan men berekenen uit het product   van de givens-matrix   met de vector  

De givens-matrix is de vierkante  -matrix

 

waarin   en   voorkomen op de snijpunten van de  -de en  -de rijen en kolommen. De andere elementen op de hoofddiagonaal zijn gelijk aan 1, en alle andere elementen van een givens-matrix zijn nul. De vier elementen op de plaatsen   en   vormen de rotatiematrix van rotatie over de hoek  .

ToepassingBewerken

De givens-rotatie is numeriek stabiel. Givens-rotaties worden in numerieke lineaire algebra gebruikt om nulwaarden in vectoren en matrices te bekomen, bijvoorbeeld in het jacobi-eigenwaardealgoritme of bij de berekening van de QR-decompositie van een matrix.

QR-decompositieBewerken

In de QR-decompositie vermenigvuldigt men de matrix   achtereenvolgens links met givens-rotaties   zodanig dat de elementen onder de hoofddiagonaal nul worden en de matrix herleid wordt tot een bovendriehoeksmatrix  . Elke vermenigvuldiging met een givens-matrix verandert alleen de waarden in de  -de en  -de rij van de matrix.

 

De inverse, of equivalent de getransponeerde, van het product van de toegepaste givens-rotaties vormt een orthogonale matrix   zodat  

Als in de  -de kolom van de matrix   onder de diagonaal in de  -de rij het getal   staat, kan dat omgezet worden in 0 door een givens-rotatie   met   en  . Er moet voldaan worden aan:

 

waarin   het element op de diagonaal is. Daaruit volgt dat:

 
 
 

VoorbeeldBewerken

De 3x3-matrix   wordt met QR-decompositie herleid tot een bovendriehoeksmatrix   met behulp van van givens-rotaties.

 

Er zijn twee rotaties nodig om de elementen   en   om te zetten in 0. Noem   de givens-matrix die   omzet in 0, dan worden

 
 
 
 

De matrixvermenigvuldiging   geeft de volgende getransformeerde matrix:

 

Noem   de givens-matrix waarmee   op nul gezet wordt. Daarvoor geldt

 

met

 
 
 

Met deze waarden levert de matrixvermenigvuldiging de bovendriehoeksmatrix R:

 

De matrix   in de decompositie   wordt dan gegeven door:

 

Dit is in dit voorbeeld de matrix: